常微分方程在数学建模中的应用6new

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1、万方数据第28卷第4期2009年4月数学教学研究57常微分方程在数学建模中的应用郭爽1侯丽英2李秀丽1I．大庆师范学院数学系，黑龙江大庆163712；2．黑龙江八一农垦大学数学系，黑龙江大庆163319摘要：微分方程模型在自然科学中的应用主要以物理、力学、化学、控制论等客观规律为基础建立起来，而在经济学、生物学等方面的应用也越来越广泛．本文阐述常微分方程在数学建模中的作用，介绍了解决实际问题的3种方法．关键词：数学建模；徽分方程中图分类号：0175．1常微分方程是许多理工科专业需要开设的基础课程，常微分方程与微积分是同时产生的，一开始就成为人类认识世界和改造世界的有力工

2、具，随着生产实践和科学技术的发展，该学科已经演变发展为数学学科理论中理论联系实践的一个重要分支．在力学、物理、化学、生物学、医学、自动控制和经济管理等各个学科中，都能找到它的影子．随着数学建模活动的日益活跃，利用微分方程建立数学模型，成为解决实际问题不可或缺的方法与工具．因此，在教学过程中适当渗透建模思想，增加一些建模实例，不仅不会增加学生的学习负担，反而会激发学生的学习兴趣，进而在数学建模活动中更加得心应手．我们在讲解课程时，还应把常微分方程模型的归结方法罗列出来，让学生初步了解该门课程在解决实际问题中所起的作用．应用常微分方程懈决实际问题的方法归结为如下几种：一是根

3、据规律列方程；二是微元分析法；三是模拟近似法．下面就几个常用的实例来说明常微分方程在数学建模中的应用．1根据规律列方程学生已经学习了许多经过实践或实验检验的规律或定律，如牛顿运动定律、牛顿冷却定律、曲线的切线性质、虎克定律、基尔霍夫定律、物质放射性规律等，它们都涉及到函数的变化率，必然可以和导数或微分联系起来，进一步建立相关的微分方程．例1收音机接收回路的简化L-C电路．现在考虑的L-C电路，它是收音机接收回路的简化电路．是由电容C、电感L和某个无线电电台发射的无线电波的电磁场产生的感应电动势∈(￡)串联所成的回路．解可用基尔霍夫定律来建立对应的常微分方程．自变量取时间

4、t，未知函数取回路，

5、r中的电流强度J(￡)，电感L的电压降为L繁，n电容c的电压降为菁，其中Q为电量，由Io的定义得f一掣，或Q=IIdt，在整个回路U●J中，所有支路上的电压的代数和等于零，即有L学十去IM￡一￡(￡)．此方程中既有J的导收稿日期：2008—07—02基金项目：黑龙江省新世纪高等教育教学改革工程项目；黑龙江省高等教育学会高等教育科学研究“十一五”规划课题(115C-289)(115C一740)作者简介：郭爽(1972一)，女，黑龙江大庆人，大庆师范学院数学系剐教授。主要从事数学微分方程边值问题研究．万方数据58数学教学研究第28卷第4期2009年4月

6、数，又有I的积分，它还不是微分方程．但可将其归结为一个未知函数的二阶微分方程．为此令z一71Idt，则有C面dx—I，于是，uJu■Lc嚣+z一￡(￡)．如果仍用j作未知函数，可以得到关于J的微分方程豢+壶z一吾亿)．2微元分析法例2(混合溶液的数学模型)设一容器内原有100L盐，内含有盐10kg，现以3L／rain的速度注入质量浓度为0．01kg／L的淡盐水，同时以2L／rain的速度抽出混合均匀的盐水，求容器内盐量变化的数学模型．解设t时刻容器内的盐量为X(￡)kg，考虑t到￡+dt时间内容器中盐的变化情况，在d￡时间内，“容器中盐的改变量一注人的盐水中所含盐量一抽

7、出的盐水中所含盐量”，容器内盐的改变量为出，注入的盐水中所含盐量为0．01×3dt，t时刻容器内溶液的质量浓度为面西≠嚣笔甄，假设￡到t+dt时间内容器内溶液的质量浓度不变(事实上，容器内的溶液质量浓度时刻在变，由于出时间很短，可以这样看)．于是抽出的盐水中所含盐量为而矿吾茜笔瓦2d￡，这样即可列出方程dx—o．03出一面言毛d￡，11．ddx￡一o．03一丽2x．又因为t=O时，容器内有盐10kg，于是得该问题的数学模型为』查+志-o．03dti00t，．．J+“’lz(0)一10．这是一阶非齐次线性方程的初值问题，其解为础)_o．01(100-I-肘器．下面对该问题

8、进行一下简单的讨论，由上式不难发现：t时刻容器内溶液的质量浓度为∞)=畿·o．01+揣，且当￡一+∞时，户(￡)一o．01，即长时间地进行上述稀释过程，容器内盐水的质量浓度将趋于注入溶液的质量浓度．溶液混合问题的更一般的提法是：设有一容器装有某种质量的溶液，以流量y。注入质量浓度为C1的溶液(指同一种类溶液，只是质量浓度不同)。假定溶液立即被搅匀，并以V：的流量流出这种混合溶液，试建立容器中质量浓度与时间的数学模型．首先设容器中溶质的质量为z(f)，原来的初始质量为鳓，￡一0时溶液的体积为n，在出时间内，容器内溶质的改变量等于流入溶质的数