常微分方程在数学建模中的应用1new

《常微分方程在数学建模中的应用1new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、万方数据INTELLIGENCE鹾翻心惑≤葳、墓”?常微分方程在数学建模中的应用渤海船舶职业学院王英霞摘要：介绍常微分方程的发展、数学建模的特点：重点介绍了常微分方程与数学建模相互结合，在不同的领域中的相关的具体例子，总结常微分方程在数学建模中的重要性．关键词；常微分方程数学建模模型常微分方程的形成、发展与很多学科都有着密切的联系，例如天文学、力学、物理学等等。由于数学的分支学科一常微分方程的发展起着深刻的影响，特别是计算机的发展更为常微分方程的应用及理论研究提供了有力的工具w。数学若果想解决实际的问题，就要通过观察、研究

2、实际对象的特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系¨】。而所有的研究课题在数学上几乎都是用函数关系来表现的，因此研究实际问题就是寻求满足某些条件的一个或几个未知数方程的问题。当今，随着科学技术的飞速发展，使不同学科的相互渗透与综合成为可能。计算机辅助设计也引入了常微分方程领域，如在自动控制、各种电子装置的设计、飞机和导弹飞行的稳定性研究、化学反应过程中的研究等方面，常微分方程也做出了突出的贡献。微分方程在数学建模中的应用大体是：首先建立数学模型，要求根据问题的目的、要求具体分析做出相应的简化和假设；

3、然后按照规律列出微分方程，求出方程的解．最后将结果翻译回实际对象，对问题进行描述、分析、预测和控制川。下面我们就通过几个不同领域的例子来说明常微分方程在数学建模中的应用。[例1]动力学模型动力学是微分方程最早期的源泉之一，动力学的基本定律是牛顿第二定律f=，船，这也是用微分方程来解决动力学的基本关系式。我们知道重力作用和空气阻力是影响物体自由下落的两大因素，而重力与物体下落的速度成正比，空气阻力与物体下落速度成反比。我们设跳伞运动员质量为m，降落伞所受空气阻力与速度成正比。求降落伞下降速度y=y(f)的变化规律。解：设空气

4、阻力系数为K。又设在时刻t物体的下落速度为矿，于是在时刻t，物体所受的力为f=mg一加，从而，根据牛顿第二定律可列出微分方程种。mi2mg一如分离变量得dv魂mg——kvm积分得、一昙111f愕一加I=it+cl即、一生f—七mg—kv=e”Cl解出1，得v：塑+ce-去‘当tj+∞时，有11261独V(f)2警(1)据测定。k=∞枯其中口为与物体形状有关的常数；p为介质密度；s为物体在地面上的投影面积。人们正是根据公式(1)来为跳伞者设计保证安全的降落伞的直径大小的。落地速度yl、m、口与p一定时，可求出s来。只要跳伞者

5、在空中有足够长的停留时间，他到达地面时的速度近似地等于常速-憎-i-，而且不会超过竿，所以跳伞者才。能安全降落地面，而自由落体则是按照加速度g落到地面的。[例2]流体混合数学模型我们在生产和实验中常常遇到如下问题：容器内装有含物质A的流体。设时刻b时，流体体积为vo，物体A的质量为xo(浓度已知)。今以速度1，：(单位时间的流量)放出流体，而同时又以速度Vl注入浓度为cl的流体。试求时刻f时容器内物质A的质量及流体的浓度。这类问题称为流体混合问题。首先，我们用微元法列出方程，设在时刻t，容器内物质A的质量为x—x(，)，浓

6、度为c2，经过时间dt后，容器内物质A的质量增加了dx。于是，有关系式一dx．=qvIdt—c2v2drf=【clH—c2v2)dt凼为XC：．=一。v0+(Vl一1，2)，带入上式得出=(clyl一瓦；南v2)国或旦兰；一监．x+c'vl、疵vo+(Vl—v2)t1(2)这是一个线性方程。求物体A在f时刻的质量问题就归结为求方程(2)满足初始条件x(o)=go的解得问题。[例3]某种传染病的大面积流行，．设某地区人群总数为Ⅳ，其中一类是携带病菌的病人x(f)；另一类是健康人J，O)，并设单位时间内一个带菌病人传染的人数与

7、当时健康人数量成正比，比例系数为K14J，则有J瓦dx=砂(r)加)=h(f)【Ⅳ一x(f)】Ix(0)；‰此模型恰好是人口模型中的Verhulst阻滞增长模型。用可分离变量法解微分方程可得x(f)一——等一P一枷1+(竺一1)工Oo由该解可以看出，x(f)随t单调增加，且当x(f)专oo时，由；．am。x(f)2N表明，最终该地区所有的人都将传染生病，如图1所示。这是很可怕的现象，通常这并非真实情况，事实上患病人数不可能达到环境允许的最大容量，但却可能万方数据把微笑留给学生山西省大同市城区第四十三小学王新雨“王老师好l”

8、阳光，鸟鸣，张张笑脸，绘制了世间最美的画面。伴随着这亲切的问候声，开始了一天紧张的工作。岁月匆匆，已经在与粉笔为伍的生涯中度过了十四个春秋，担任了十二年的班主任。经历了艰辛与坎坷，也品尝了苦恼与喜悦，真是鲜花与荆棘一路，长歌与笑语齐飞。抹去了年轻的困惑，掀开了师者的面纱，点滴感悟积聚心头—把俅的微笑留给