微分方程在数学建模中的应用探究new

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1、2008年第13期微分方程在数学建模中的应用探究刘慧宋广华(河池学院数学系广西宜州546300)I摘要】数学建模是数学在实际应用中的具体体现，微分方程是数学联系实际，并应用与实际的重要桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具。本文简要介绍利用微分方=程建立模型来求解实际问题的一般方法和步骤。并给出具体实例和分析。【关键词】数学建模；微分方程；人口预测’1．引言随着科学技术的迅速发展，数学正越来越多的影响我们的现代生活．“高技术本质上是数学技术”的观点已被越来越多的人所接受。这其中，数学模型以及数学建模起到了极其重要的作用。数学模型是一种抽象的模拟，它用数学符号、数学公式、程序、图、

2、表等刻画客观事物的本质属性与内在联系，它是对部分现实世界而做的抽象简化的数学结构。创建一个数学模型的全过程称为数学建模。为了解决一个实际问题，建立数学模型是一种十分有效的重要方法。微分方程是一门独虚的数学学科，有完整的数学体系，微分方程是数学联系实际，并应用与实际的重要桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具。微分方程在物理学、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用，现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程的问题，例如人口的增长、电磁波的传播、人才的分配、价格的调整等，都可以归结为微分方程的问题，从中我们可以感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力m。2．微分方程模

3、型2．1微分方程模型概述及常用建模方法微分方程建模是数学建模的重要方法．因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题．大体上可以按以下几步：(1)根据实际问题建立相应数学模型——微分方程(组)。(2)求解与分析这一数学模型，其中包括分析解的特征。(3)利用所得结果，解的形式和数值，进行定性分析。解释实际问题，从而预测某些自现象，甚至社会现象中的特定性质。(4)必要时修改模型对问题作进一步探讨。列方程常见的方法有阁：(1)按规律直接列方程在数学、力学、物理、化学等学科中许多自然现象所满足的规律已为人们所熟悉，并直接由微分方程所描述。

4、我们常利用这些规律对某些实际问题列出微分方程。(2)微元分析法与任意区域上取积分的方法‘自然界中也有许多现象所满足的规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的。对于这类同题，通过微元分析法，利用已知的规律建立一些变量(白变量与未知函数)的微元之问的关系式，然后再通过取极限的方法得到微分方程。或等价地通过任意区域上取积分的方法来建立微分方程。(3)模拟近似法在生物、经济等学科中．许多现象所满足的规律并不很清楚而且相当复杂，因而需要根据实际资料或大量的实验数据。提出各种假设。在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律。然后利用适当的数学方法列出微分方程i在实际的微分方程建模过程中，也往往是上

5、述方法的综合应用。不论应用哪种方法，通常要根据实际情况，作出一定的假设与简化，并要把模型的理论或计算结果与实际情况进行对照验证，以修改模型使之更准确地描述实际问题并进而达到预测预报的目的。2．2应用微分方程模型的注意事项(1)微分方程作为模型的实际问题中必须出现象“变化”、“改变”、。增加”、“减少”等问题，这可能与导数有关，根据问题特征考虑是用已知的定律还是用微元导出微分方程。(2)问题往往还给出某一特定时刻或特定位置等信息，据此可拟出定解条件，借以确定解中所含的常量，如积分常数、比例系数等。这些条件与方程一起组成一个定解问题。(3)在得到方程解以后，还应对解作分析，看结果是否与观

6、察问题所得结果相符，在建立微分方程模型的过程中是从简易的角度考虑。往往略去了一些问题有关的次要因素，因此所得模型是近似的，如不符应该修改数学模型。3．实例分析在科学研究和生产实际中，经常要寻求表示客观事物的变量之间的函数关系。而微分方程模型就是描述客观事物的数量关系的一种重要数学模型。下面结合2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题。具体分析微分方程在数学建模中的应用。3．1问题描述和分析根据相关数据(参见2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题)，建立中国人口增跃的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测。模型的建立必须考虑我国近年来人口发展的总趋势。例如，老龄

7、化进程加速、出生人口性别比持续升高、乡村人口城镇化等因素。考虑到涉及人r丁的增长和变换，恰好满足利用微分方程的条件，我们可以利用微分方程来建立模型。3．2基本假设和分析(1)基本假设：从中国人F1增长的特点出发，可以提出如下假设作为建立模型的依据：老龄化进程加速；农村育龄妇女的生育率明显高于城镇；出生人口的男女性别比持续升高：农村人口不断城镇化。根据这些假设，区分模型中的状态变量和参数。(2)状态变量的设置：根据上述假设和数据分析，可以把城镇人口与农村人口