解析函数零点的孤立性及惟一性定理课件.pptx

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1、§4.4解析函数零点的孤立性与唯一性定理1、解析函数零点的孤立性2、唯一性定理3、最大与最小模原理定义4.7设f(z)在解析区域D内一点a的值为零,即：f(a)=0，则称a为解析函数f(z)的一个零点.如果在

2、z-a

3、

4、z-a

5、

6、证明：设f(z)以a为m级零点,则：在a点解析，且设(z)在a点解析定理4.18如在

7、z-a

8、

9、z-a

10、

11、z-a

12、

13、)的一列零点{zn}(zn≠0)收敛于a,证因为f(z)在点a连续,且f(zn)=0,让n趋于无穷取极限,即得f(a)=0.故a是一个非孤立的零点.由定理4.18必f(z)在K内恒为零.推论4.19设(1)f(z)在邻域K:

14、z-a

15、

16、z)=f2(z),则f1(z)f2(z)z∈D证令f(z)=f1(z)-f2(z)只须证明f(z)在D内恒为零.一般情况下,可用圆链法来证明.定理4.202（内部）唯一性定理推论4.21设在区域D内解析的函数f1(z)及f2(z)在D内的某一子区域(或一小段弧)相等,则它们在D内恒等.推论4.22一切在实轴上成立的恒等式,在z平面上也成立,只要这个恒等式的两边在z平面上都是解析的.由内部唯一性定理可以看出：解析函数在其定义域中某点邻域内的取值情况完全决定着它在其它部分的值。内部唯一性定理可以看成柯西公式的补充定理。注：推论4.19包含在定理4.20中，因此他们和推论4.21、4.22都

17、称为解析函数的唯一性定理例4.17设例4.18见课本p171由唯一性定理，在数学分析中常见的一些初等函数的幂级数展式都可以推广到复数域上来。3、最大(小)模原理定理4.23(最大模原理)设f(z)在区域D内解析,则

18、f(z)

19、在D内任何点都不能达到最大值,除非在D内f(z)恒等于常数.证如果用M表

20、f(z)

21、在D内的最小上界,则必0

22、f(z0)

23、=M.(1)应用平均值定理(定理3.12)于以z0为中心,并且连同它的周界一起都全含于区域D内的一个圆

24、z-z0

25、

26、以下用反证法说明这一点:如果对于某一个值=0有：那么根据

27、f(z)

28、的连续函数的保号性：在这个区间之外,总是在这样的情况下,由(4.15)得因此,我们已经证明了:在以点z0为中心的每一个充分小的圆上

29、f(z)

30、=M,换句话说，自相矛盾在z0点的足够小的邻域K内(K及其周界全含于D内)有

31、f(z)

32、=M.(2)由第二章习题(一)6(3),必f(z)在K内为常数.(3)由唯一性定理,必f(z)在D内为一常数.推论4.24设(1)f(z)在有界区域D内解析,在闭域上连续;则除f(z)为常数的情景外,

33、f(z)

34、

35、内的最大模，这也是解析函数特有的性质。类似有最小模原理（p176）及其推论。例4.19使用最大模原理证明：