解析函数零点的孤立性及其唯一性定理

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1、§4（1）解析函数零点的孤立性及其唯一性定理一、教学目标或要求：掌握解析函数的零点的级别唯一性定理二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：基本内容：解析函数的零点的孤立性零点的级唯一性定理重点：唯一性定理难点:唯一性定理三、教学手段与方法：讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习：8－111．解析函数零点的孤立性定义4.7设函数在点解析，若，则称点为的零点，若的零点满足，但则称点为函数的级（阶）零点。若，则称为的简单零点。定理4.17　点是不恒为零的解析函数的级零点的充分必要条件是其中在点的邻域内解析，且。证“”由已知解析且以为级零点

2、知　　　　　 显然,并且作为幂级数其收敛半径与相同，故也在内解析。设，在解析且，则由泰勒定理在内有　　　　　　　故　　　　　　　　于是在内解析。由泰勒展式的唯一性知　　　　　　　　，但即为的级零点。例求的全部零点，并指出它们的级。解在平面上解析，由得　　　　　　故是的二级零点。定理4.18若在内的解析函数不恒为零,为其零　　　　　　点，则必有的一个邻域，使在其中无异于的零点，即不恒为零的解析函数的零点必是孤立的。注在实变函数中，可微函数的零点不一定是孤立的。如　　　　　　　　　　在可微且以的一个零点，但也是零点，并以为聚点，故不是孤立的

3、。证设为的级零点，于是。其中在内解析，且，从而在点连续，于是由连续函数的性质根据知，存在一个邻域使即得。推论4.19设在邻域内解析且存在使，则在内恒为零。证由在内解析知在点连续，又，令则即为的非孤立零点，因此在内恒为零。注为使用方便可用更强的条件“在内某一子区域或一小段弧上等于0”来替代“在一收敛点列上等于0”。2.唯一性定理定理4.20设(1)函数和在区域内解析;(2)内有一个收敛于的点列,其上和等值，则和在内恒等。证令，只须证在内恒等于零。用圆链法，在内作折线连接，，令,在上依次取,使彼此间距离小于，考察圆链，由于，又，根据零点孤立

4、性定理的推论，在内。同样的,在内,由上述推论也有,继续下去,直到，同理可知上,于是,又由的任意性知在内。推论4.21设在区域内解析的函数和在内的某一　　　　　　子区域或一小段弧上相等,则它们必在区域内恒等。解析函数的唯一性定理可以用来在复平面证明我们过去熟知的一些等式。例设均在区域内解析，且试证或证若，则命题得证，若，则使由连续性，存在的某个邻域使，故在内，由唯一性定理。推论4.22一切在实轴上成立的恒等式在z平面上也成立，只要这个恒等式的两边在z平面上都是解析的。例试问点为函数的几级零点？解因为在点解析，且，所以点为的零点。由在点解析

5、可知，在内可写成幂级数，而在内有从而有于是有其中在内解析，且，所以得知点为的15级零点。例在内把展开成的幂级数（取主值支）。解令　　　　则⑴在内解析;　⑵在上　　　　　由数学分析的结论知上，故有唯一性定理上　　即内。