解析函数零点的孤立性与唯一性定理.ppt

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1、§4.4解析函数零点的孤立性与唯一性定理4.4.1级析函数零点的孤立性4.4.2唯一性定理4.4.3最大与最小模原理定义4.7设f(z)在解析区域D内一点a的值为零,即：f(a)=0，则称a为解析函数f(z)的一个零点.如果在

2、z-a

3、

4、7不恒为零的解析函数f(z)以a为m阶零点的充要条件为:其中(4.14)在点a的邻域

5、z-a

6、

7、(zk)0.zk是函数f(z)=sin(z)-1的二阶零点。定理4.18如在

8、z-a

9、

10、z-a

11、

12、z-a

13、

14、收敛于a,证因为f(z)在点a连续,且f(zn)=0,让n趋于无穷取极限,即得f(a)=0.故a是一个非孤立的零点.由定理4.18必f(z)在K内恒为零.推论4.19设(1)f(z)在邻域K:

15、z-a

16、

17、2)D内有一个收敛于a∈D的点列{zn}(zn≠a),在其上f1(z)=f2(z),f1(z)f2(z)z∈D定理4.20证令f(z)=f1(z)-f2(z)只须证明f(z)在D内恒为零.一般情况下,可用下述所谓圆链法来证明.=a0a1L=anD图4.2at-1atK0ban-1a2K1aK2Kn-1bD作连接a及b的折线LDd=inf{

18、-

19、:L,D}>0使

20、at-at-1

21、

22、z-a0

23、

24、,an=b,作圆Kt:

25、z-at

26、

27、z

28、<1内展开Ln(1+z)的主值枝成z的幂级数解：令则：4.4.3最大(小)模原理定理4.23(最大模原理)设f(z)在区域D内解析,则

29、f

30、(z)

31、在D内任何点都不能达到最大值,除非在D内f(z)恒等于常数.证：令M=sup{

32、f(z)

33、:zD},则必0

34、f(z0)

35、=M.(1)应用平均值定理(定理3.12)于以z0为中心,并且连同它的周界一起都全含于区域D内的一个圆

36、z-z0

37、

38、f(z)

39、连续DKz0在这个区间之外,总是自相矛盾!z0因此,我们已经证明了:在以点z0为中心的每一个充分小的圆上

40、f(z)

41、=M.,z0z0z0z0z0

42、f(z)

43、=M

44、.在z0点的足够小的邻域K内(K及其周界全含于D内)有

45、f(z)

46、=M让R连续趋近于零(2)由第二章习题(一)6(3),必f(z)在K内为常数.(3)由唯一性定理,必f(z)在D内为一常数.推论4.24设(1)f(z)在有界区域D内解析,在闭域D=D+D上连续;(2)

47、f(z)

48、M,(z∈D).则除f(z)为常数的情形外,

49、f(z)

50、