复变函数4.4解析函数零点的孤立性与唯一性定理.ppt

《复变函数4.4解析函数零点的孤立性与唯一性定理.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、§4.4解析函数零点的孤立性与唯一性定理4.4.1级析函数零点的孤立性4.4.2唯一性定理4.4.3最大与最小模原理定义4.7设f(z)在解析区域D内一点a的值为零,即：f(a)=0，则称a为解析函数f(z)的一个零点.如果在

2、z-a

3、

4、件为:其中(4.14)在点a的邻域

5、z-a

6、

7、z-a

8、

9、z-a

10、

11、1.28知存在一邻域

12、z-a

13、

14、z-a

15、

16、)收敛于a∈D.①如果D本身就是以a为心的圆,或D就是整个z平面,则由推论4.19,即知.设:(2)D内有一个收敛于a∈D的点列{zn}(zn≠a),在其上f1(z)=f2(z),f1(z)f2(z)z∈D定理4.20证令f(z)=f1(z)-f2(z)只须证明f(z)在D内恒为零.②一般情况下,可用下述所谓圆链法来证明.K1a0=a1K1Lan=D图4.2设b是D内任意固定的点(图4.2).a在D内可作一折线L连接a及b,以d表示L与边界间的最短距离(见第三章定理3.3注,d>0).在L上依次取一串点a=a0,a1,…,an-1,an=b,at-1at使

17、相邻两点间的距离小于定数R(0

18、z-a0

19、

20、z-a1

21、

22、z

23、<1内展开Ln(1+

24、z)的主值枝成z的幂级数4.4.3最大(小)模原理定理4.23(最大模原理)设f(z)在区域D内解析,则

25、f(z)

26、在D内任何点都不能达到最大值,除非在D内f(z)恒等于常数.证如果用M表

27、f(z)

28、在D内的最小上界,则必0

29、f(z0)

30、=M.(1)应用平均值定理(定理3.12)于以z0为中心,并且连同它的周界一起都全含于区域D内的一个圆

31、z-z0

32、

33、f(z)

34、的连续函数的保号性：z0在这个区间

35、之外,总是在这样的情况下,由(4.15)得因此,我们已经证明了:在以点z0为中心的每一个充分小的圆上

36、f(z)

37、=M.,自相矛盾z0z0z0z0z0

38、f(z)

39、=M.在z0点的足够小的邻域K内(K及其周界全含于D内)有让R连切趋近于零(2)由第二章习题(一)6(3),必f(z)在K内为常数.推论4.24设(1)f(z)在有界区域D内解析,在闭域上连续;(2)则除f(z)为常数的情景外,

40、f(z)

41、

42、

43、z

44、≤1}则f(z)在圆

45、z

46、<1内，至少有一个零点②

47、a>0,s.t.当

48、z

49、=R时，

50、f(