解析函数零点孤立性及唯一性定理

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1、复变函数论多媒体教学课件DepartmentofMathematics第四节、解析函数零点的孤立性及唯一性定理一解析函数的零点的孤立性1定义4.73定理4.17证明:“必要性”由假设,只要令则“充分性”故由Taylor定理从而例1解例2解故由得因为注:一个实函数的零点不一定是孤立的.如但在复变函数中,我们有4定理4.18证明:则5推论4.19证明:注2如二解析函数的唯一性1定理4.20证明:由推论4.19,考虑一般情形:由推论4.19有这样连续下去,可依次证明在2推论4.21例3证明:由惟一性定理例4解则由惟一性定理知:故不存在.(2)由于函数值点列有显然它在原点解析,故合条件

2、的函数存在且为3推论4.22证明故由惟一性定理，例5解故由惟一性定理,注1:数分中常见的一些初等函数的幂级数展开式都可推广到复函数上来.如注2定理4.20,推论4.21,4.22统称为惟一性定理,它揭示了解析函数一个非常深刻的性质,函数在区域D内的局部值确定了函数在区域D内整体值,即局部与整体之间有着十分密切的关系.注3证明:“反证”由平均值定理,只要圆三最大模原理1定理4.23下面证明:故矛盾.于是因此,我们证明了,注解析函数在边界上的最大模可以限制其在区域内的最大模.2推论4.24注1:有界闭域上解析函数的最大模只能在边界取得.注2:Cauchy不等式中例7证明:由最大模原

3、理,例8而且证明:则由题设,故此时与最大模原理相矛盾.3最小模原理作业P180习题(一)8(2);9;12P180习题(一)13;14本节结束谢谢！ComplexFunctionTheoryDepartmentofMathematics