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《解析函数零点的孤立性及唯一性定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四章解析函数的幂级数表示法第一节复级数的基本性质第二节幂级数第三节解析函数的泰勒(Taylor)展式第四节零点的孤立性与唯一性原理第一节复级数的基本性质１ 复数项级数定义4.1对于复数项的无穷级数命 （部分和）。若则称复数项级数收敛于否则称级数发散。定理4.1设 ，则复数级（4.1）收敛于实数及分别收敛于的充要条件为例求证级数在时收敛于，而当时发散。证明：1）用极限定义易证，当时，因而由极限的性质得到因此按定义4.1得2）当时，显然有，因而故级数发散。3）当时，显然有因此级数也发散。4）当，而时，设，则因为，所以它对任何固定
2、的都无极限由此可见，复数当时无极限，亦即无极限，因此级数发散。例4.1考察级数的敛散性。解因 发散，收敛，我们仍断定原级数发散。故虽例讨论级数的敛散性解：而收敛，级数同时收敛或同时发散。当时，级数收敛。当时，由知，发散定理4.2柯西收敛原理（复数项级数）级数收敛必要与充分条件是：任给可以找到一个正整数N，使得当n>N，p=1,2,3,…时定理4.3复级数（4.1）收敛的一个充分条件为级数收敛定义4.2若级数 收敛，则原级数称为绝对收敛；非绝对收敛的收敛级数，称为条件收敛。（１）一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序，而不致改变其绝对收敛性，亦不致改变其
3、和。（2）两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积级数。定理4.4例判断下列级数的敛散性分析：考查正项级数的敛散性。解（1），则由正项级数的比值判别法知道，原级数绝对收敛。（2）因故原级数发散练习：证明级数收敛，但不绝对收敛2.一致收敛的复函数项级数定义4.3设复变函数项级数在点集上存在一个函数，对于上的每一个点，级数（4.2）均收敛于，则称为级数（4.2）的和函数，记为定义4.4对于级数（4.2），如果对任意给定的 ，存在正整数当 时，对一切的 均有则称级数（4.2）在上一致收敛于与定理4.2类似地我们有定理4.5级数在上一致收敛的充要条件是
4、：，当使时，对任一及均有定义4.4‘在点集合E上不一致收敛于某个对任何整整数总有某个使定理4.5’在点集E上不一致收敛某个对任何正整数N，整数总有某个及某个正整数，有定理（优级数准则）若存在正数列而且正项级数收敛，则复函数项级数在集上绝对收敛且一致收敛。使对一切,有例求级数的和函数分析：求部分和；分别就取极限解：所以例证明级数时一致收敛当当时发散。证明：1）当时，由于，而正项级数收敛，故由优级数准则知所给级数在时绝对且一致收敛。2）当时，，所以绝对收敛。又由于故发散，从而所给级数在时发散。3）当时，，所以收敛。发散。后者是因为从而所给级数在时发散。级数在闭圆
5、上一致收敛。因有收敛的优级数思考题：证明在内不一致收敛。定理4.6设复平面点集E表示区域、闭区域或简单曲线在E上一致收敛于f(z)，那么f(z)在E上连续。定理4.7设在简单曲线C上{fn(n)}(n=1,2,…)或序列{fn(n)}在C上一致收敛于f(z)或或连续，并且级数。设在集E上{fn(z)}(n=1,2,…)连续，并且级数，那么注解：注解1、在研究复变函数项级数和序列的逐项求导的问题时，我们一般考虑解析函数项级数和序列；注解2、我们主要用莫勒拉定理及柯西公式来研究和函数与极限函数的解析性及其导数。内闭一致收敛：设函数序列在复平面C上的区域D内解析，
6、如果级数序列{fn(n)}在D内任一有界闭区域（或在一个紧集）上一致收敛于f(z)或，那么我们说此级数或序列在D中内闭（或内紧）一致收敛于f(z)或。定理4.8级数（4.2）在圆内闭一致收敛的充要条件是：对任意正数，只要级数（4.2）在闭圆上一致收敛。定理4.9设函数在区域内解析,级数在内中闭一致收敛于函数，则在内解析,，且在内成立证明：，取，使得。在内任作一条简单闭曲线，根据定理柯西定理推得因而由莫勒拉定理知在内解析,再由的任意性即得在内解析。在上一致收敛于其次，设的边界,由已知条件得在上一致收敛于，从而,根据定理4.7，我们有即于是定理结论成立.例证明级
7、数在内闭一致收敛。证明当时，而正项级数收敛，即原级数有收敛的优级数，故由优级数准则，原级数在较小同心闭圆上绝对且一致收敛。由定理4.8原级数在内内闭一致收敛。定义形如的级数称为幂级数,其中是复变量,是复常数.特别地,当，级数就变为§2幂级数幂级数在复变函数论中有着特殊重要意义,它不仅是研究解析函数的工具,而且在实际计算中也很重要。定理4.10:(阿贝尔第一定理)如果幂级数(4.3)在z1(z0)收敛,则它在圆K：
8、z-z0
9、<
10、z1-z0
11、内绝对收敛且内闭一致收敛.证明设z是所述圆K内的任意点，因为因此存在着有限常数M,使得这样一来，即有收敛，它的各项必然
12、有界注意有，故级数为收敛的等比级数，因而在圆K内收敛
