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时间：2020-07-26
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1、复变函数论多媒体教学课件第四节解析函数零点的孤立性及唯一性定理一.解析函数的零点的孤立性1.定义4.73.定理4.17证明:必要性由假设,令则充分性故由Taylor定理得从而例1解例2解故由即也即得因为注:一个实函的零点不一定是孤立的.如但在复变函数中,我们有4.定理4.18证明:则5.推论4.19证明:注2.如二.解析函数的唯一性1.定理4.20证明:由推论4.19,考虑一般情形:由推论4.19有这样连续下去,可依次证明在2.推论4.21例3证明:由惟一性定理例4.解则由惟一性定理知:故不存在.(2)由于函数值点列有显然它在原点解析,故合条件的函数存在且为3.推论4
2、.22例5解故由惟一性定理,注1:数分中常见的一些初等函数的幂级数展开式都可推广到复数域上来.如注2定理4.20,推论4.21,4.22统称为惟一性定理,它揭示了解析函数一个非常深刻的性质,函数在区域D内的局部值确定了函数在区域D内整体值,即局部与整体之间有着十分密切的关系.注3证明:“反证”由平均值定理,只要圆K:三.最大模原理介绍1.定理4.23下面证明:故矛盾.于是因此,我们证明了,注解析函数在边界上的最大模可以限制其在区域内的最大模.2推论4.24注1:有界闭域上解析函数的最大模只能在边界取得.注2:Cauchy不等式中作业P180习题(一)8(2);9;12
3、本节结束谢谢！3.最小模原理证明:则由题设,故此时与最大模原理相矛盾.例7证明:由最大模原理,例8而且
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