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1、第一章函数与极限函数与极限——微积分中的二个重要基本概念函数——高等数学研究的基本对象．极限——是否采用极限的运算方法，是高等数学与初等数学的根本区别．第一节函数一．函数概念：１．常量与变量：常量：某一变化过程中保持数值不变的量.变量：在某一变化过程中取不同数值的量．一个量是常量还是变量只是相对而言的．例：同一地点的ｇ=9.8米/秒2(初等数学研究的主要对象)例：自由落体Ｓ=gt2/2中的S与t都是变量.３．函数的表示方法：解析法(如y=f(x))列表法图象法其他函数的表示法解析法可用一个式子表示也可用多个式子表示.例如:cosx-π≤x≤010＜x
2、＜11/xx≥1f(x)=(分段函数)注：分段函数虽然由多个式子组成的，但它不是多个函数，而是一个函数．√幂函数：ｙ=xa指数函数：ｙ=ax对数函数：ｙ=logax三角函数：ｙ=sinx，y=cosx,y=tgx,y=ctgx.反三角函数：y=arcsinx,y=arccosx,y=arctgx,y=arcctgx.二．初等函数：1．基本初等函数：(中学学过的）2．复合函数：形如：ｙ=f[(φ(x)](u=φ(x))定义:设变量y是变量u的函数,变量u又是变量x的函数即y=f(u),u=φ(x),如果变量x的某些值通过中间变量u可以确定变量y的值时,
3、则称y是x的复合函数,记作y=f[φ(x)](y—因变量,u—中间变量(既是自变量又是因变量),x—自变量)注:①函数u=Φ(x)的值域不能超过函数y=f(u)的定义域.②形成复合函数的中间变量可以不止一个,如:y=f｛φ[ω(x)]｝例：y=cos(2t+π/3)那么拆成什么形式好呢?▲.一般复合函数拆开的结果应使拆成的每一个函数都是基本初等函数或是它们的和,差,积,商.√将复合函数拆成简单函数：（重点）例：例：可分解为:y=cosx,x=2t+π/3.或:y=cos2x,x=t+π/63．初等函数定义：由基本初等函数经过有限次加，减，乘，除四则运
4、算和有限次复合运算而构成的仅用一个解析式表达的函数，称为初等函数．（注：不用一个式子表示的函数就不是初等函数）问：分段函数是否是初等函数？不是初等函数，但它是一个函数.例：都是初等函数。第二节函数的极限极限概念的引入:例1.有一变量其变化趋势为:1,1/2,1/3,1/4,...,1/n,...则该变量的极限是0.(数列极限)例2.已知圆的半径为R,求圆面积S.解题思路:1.求圆的内接正多边形(正n边形)的面积2.取极限(n→∞时正n边形的面积即为圆的面积)一.函数的极限:对于函数y=f(x),我们将分别考察以下两种情况的极限:1.自变量x→x0时函
5、数的极限.2.自变量x→∞时函数的极限.x→x0-0时,函数的极限x→x0+0时,函数的极限x→-∞时,函数的极限x→+∞时,函数的极限1.x→x0时函数的极限:记作:⑴定义:设函数f(x)在点x0附近有定义(但在x0处可以没有定义),当自变量x以任何方式无限趋近于定值x0时,若函数f(x)无限趋近于一个常数A,就说当x趋近于x0时,函数f(x)以A为极限.注:①仅要求函数在点x0附近有定义,但在x0处可以没有定义.②“自变量x以任何方式无限趋近于定值x0”是指左趋近和右趋近(对于一元函数).Axfxx=®)(lim0⑵.函数的单侧极限:左极限：右极
6、限：x从左侧趋近于x0时产生的极限.记作:x从右侧趋近于x0时产生的极限.记作:即左极限和右极限都存在并且相等时,才能说函数的极限存在例:右图中的函数f(x)(分段函数)AxfxfAxfxxxxxx===+®-®®)(lim)(lim)(:)(lim00000当且仅当存在的充要条件极限▲.BAxyx0o∵A≠B,即左极限≠右极限∴此函数f(x)在x0处的极限不存在.2.x→∞时函数的极限:⑴函数在正无限处极限:⑵函数在负无限处极限:⑶函数在正负无限处极限:oxyA例:对于函数f(x)=arctgx,x→∞时极限是否存在?解:当x→+∞时,f(x)=a
7、rctgx→π/2,∴函数极限不存在(当x→∞时).OYxπ/2π-π/2π当x→-∞时,f(x)=arctgx→-π/2.AxfxfAxfxxx===-¥®+¥®¥®)(lim)(lim)(:)(lim当且仅当存在的充要条件极限▲.极限不存在的几种情形式:1.当x→x0(x→∞)时,f(x)→∞,极限不存在.这时虽然f(x)的极限不存在,但也可记作:2.左右极限至少有一个不存在或都存在但不相等时,极限不存在.3.当x→x0(x→∞)时,f(x)的变化趋势振荡不定,此时函数极限不存在.二.无穷小和无穷大.1.无穷小定义:以零为极限的变量就是无穷小量.
8、例:当x→+∞时,1/x的极限为零;注:①称一个函数是无穷小量时,必须指出其自变量的变化趋势.②无穷小量是变
