函数、极限、连续、知识点概况.pdf

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1、高数知识点概况仅限于学习交流使用未经允许不得复印传播QW1.函数定义域求法：P(x)1）分式：，要求分母Q(x)¹0Q(x)2）偶次根式：2nQ(x)，要求Q(x)³0Q(x)3）对数式：log，要求Q(x)>0a4）反正弦、反余弦：arcsinQ(x),arccosQ(x)，要求

2、Q(x)

3、£1p5）正切、余切：tanQ(x),要求Q(x)¹kp+，cotQ(x)，要求Q(x)¹kp2注意：（1）在一个函数解析式中若出现以上多个情况的，要求其交集，才得函数的定义域。（2）分段函数的定义域为各段的并集

4、。2.定义域表示要求必须用区间或集合的形式。3.复合函数的定义域求法。4.简单函数的复合。5.求极限：只介绍课本上常见类型的解法，对于其他的一些解法如利用级数、定积分定义taylor展式等是对研究生考试时做的要求，我们不提。（1）确定型。①利用函数的连续性（可直接代入型，最简单，一般不考）②利用无穷小与无穷大的关系求极限，即：无穷大的倒数是无穷小。这种类型的极限是确定k型，即分母极限是0，而分子极限是不为0的常数k，这种类型的极限可称为,(k)型，其极0限为¥。③利用有界变量与无穷小的乘积仍然是无穷小

5、（即一部分是有界函数，而另一部分求极限是0，则其极限为0）。一般函数式子中出现sinu(x),cosu(x),arccosu(x),arctanu(x)等的可考虑用之。（2）待定型：0¥①型、型。此种类型也可统称为商型，为最基本的待定型，一般可用罗比达法则求之（例0¥xaa-xlim(a>0,a¹1)），但是很多时候罗比达并非是很好的做法，利用罗比达是“无奈之举”x®ax-a（没有其他好的做法了，再考虑使用）。即使使用，最好能结合第一、第二重要极限和等价无3x+-tanxxsintanx-x穷小，尤其

6、是等价无穷小，用了可达事半功倍之效果。（例lim，lim，3x®0sinxx®0x-sinxxx-2--eex-sinxlim，lim）再就是使用罗比达法则的时候要抓本质，和本质没关系的，可3x®0cos1x-x®0x脱离出来单独求极限，否则会带来很多出乎想象的麻烦，切记切记！！！！！！另需注意，同一个题目可多次使用罗比达法则。高数知识点概况仅限于学习交流使用未经允许不得复印传播QW0针对型可考虑的方法有：约去公因式（若是在x®x下求极限，其公因式就是x-x），而00022x-6x+8x-3x+2对于

7、找公因式是关键，可考虑分解因式（例lim，lim），分子或分母有22x®4x-5x+4x®2x-432x-2理化，有时要同时有理化（例lim）。等等。x®4x-2注：sinx0sinu(x)a.第一重要极限lim=1，其本质为型。要注意其推广：lim=1,其成立的前提是：x®0x0x®*u(x)sin3xsin8xx®*时u(x)®0。（例lim，lim）只0有前提成立了才可以用，否则只看形式而不验证x®02xx®0sin4x前提，就很可能导致错误。nn-1nax+ax+L+aax¥01n0b.lim

8、=lim此法称为“抓大头”，其本质是型。nn-1nx®¥bx+bx+L+bx®¥bx¥01n03233x-2x+1x+3x+2（例lim，lim）同样，注意用此法的前提一定是x®¥，不要盲目332x®¥(x+2)x®¥2x+4x+1使用，否则后果会很严重。②¥±¥型、0×¥。此种类型可统称为和积型，要转化为商型来做，具体的，对于前者和型，1111一般可通过通分，或分子有理化可做到，（例lim(-)，lim(+)）。而对于后x®1x-1lnxx®-1x+1x2-1¥¥00者积型，一般要把其中之一拿到下面

9、来，即0×¥ÞÛ或0×¥ÞÛ。1¥100¥00¥③0型、¥型、1型。此种类型可统称为幂指型，要转化为和积型进而再转化为商型，或一v(x)limv(x)lnu(x)步到位转化为商型来做，其转化的方法为：利用limu(x)v(x)=limelnu(x)=ex®*。x®*x®*11x¥注：第二重要极限lim(1+x)x=e或lim(1+)=e，其本质为1型。要注意其推广：x®0x®¥xu(x)v(x)u(x)v(x)limu(x)v(x)v(x)11limx®*lim(1+u(x))=lim[(1+u(x)

10、)u(x)]=[lim(1+u(x))u(x)]x®*=e，即x®*x®*x®*limu(x)v(x)1()v(x)x®*xlim1+u(x)=e，其成立的前提是：x®*时u(x)®0,v(x)®¥。（例lim(1+2x)，x®*x®0xæx-1ö¥limç÷只有前提成立了才可以用，否则只看形式而不验证前提，就很可能导致错误。多数1型都可x®¥èx+1ø利用第二重要极限的推广来最，且很简单。常见等价无穷小：高数知识点概况仅限于学习交流使用未经允许不得复印