函数与极限知识总结.ppt

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1、第一章函数与极限知识总结定义极限性质连续函数性质求极限一.定义自变量的趋近方式:函数值趋近于:A无穷小:若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则定理.在自变量的同一变化过程中,无穷大:二.极限性质唯一性局部有界性局部保号性局部保序性四则运算法则左右极限性质海涅定理：判断极限不存在的方法三.连续函数性质左连续右连续在点连续的等价形式2.连续性的讨论:第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型注：（1）可能的间断点：初等函数无定义的点；分段函数的分段点（2）若函数由极限形式给出，则应先求出函数的显表达式，

2、然后再讨论函数间断点等问题4.闭区间上的连续函数的性质最大最小值定理;有界性;零值点定理;介值定理。注：根的存在性（零值点定理）根的唯一性（单调性）四、求极限时多项式函数的极限时有理分式函数的极限=时有理分式函数的极限时含无理式函数的0/0型的极限：方法：将分子分母有理化例.解:这是两无穷大量之差的问题.即“”型.对无理函数,可考虑有理化.5.要利用一些已知极限的结果6.利用有界量与无穷小量的乘积的极限为零7.分段函数在分段点处的极限例.求解:原式=1(2000考研)8.极限存在准则：迫敛准则和单调有界原理例.求解:令则利用夹逼准则可知9.利用极限四则运算法则和初等函数的连续性

3、注：根据四则运算法则的性质可先求出部分易求的极限，即10.利用两个重要极限注：型的极限都可用第二个重要极限；(2).方法：只需要把底数变成再在指数位置拼凑成标准形式。例.求解:原式=法二：原式=11.利用等价无穷小代换(1).无穷小的比较是的k阶无穷小是的高阶无穷小,记=o()是的同阶无穷小是的等价无穷小例.当时,是的几阶无穷小?解:设其为的阶无穷小,则因故(2).常用等价无穷小:(当x趋于0时)～～～～～～～～～注：求极限过程中，只能对分式中的分子或分母的因式进行整体代换；对用加号、减号连接的式子不能对其各自实施等价代换。例例设函数在点x=0处连续，求a.解：1

4、2.数列中无穷项和、无穷项积的极限方法：（1）利用等比或等差求和公式、裂项相消等方法化为一般数列求极限（2）利用迫敛准则（3）利用定积分定义（第五章）例.求解：注意到从而，故13.利用导数的定义（第二章）14.利用洛必达法则（第三章）第一次考试题型：一求极限（6个）二简答（3个）三证明（1个）15.利用泰勒展开式（第三章）