《函数与极限》ppt课件

《《函数与极限》ppt课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第一章函数与极限第一节映射与函数一、基本概念1.集合:具有某种特定性质的事物的全体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.或是的真子集：数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集关系:例如不含任何元素的集合称为空集.例如,规定空集为任何集合的子集.集合的运算设是两个集合定义的并集的交集的差集的直积或笛卡儿乘积例如即:面上的全体点的集合,即:整个平面通常记研究某个问题一般是限定在一个大的集合中进行的,这个大的集合称为全集,记为设称为集合的余集或补集,记为即例如，则2.区间:是指介于某两个实数之间

2、的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.有限区间无限区间3.邻域:记为，即（）4.常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意常量与变量是相对于“过程”而言的.通常用字母a,b,c,…a,b,ca等表示常量;而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法：用字母x,y,z,t,u,v等表示变量.5.绝对值:性质:绝对值不等式:二、映射1.映射的概念定义设是两个非空集合,如果存在一个法则,使得对于中每个元素,按法则,在中有唯一确定的元素与之对应,则称为从到的映射,记为称为元素(在映射下)的像,并记为,即元素称为元素(在映射下

3、)的一个原像.集合称为映射的定义域,记为即中所有元素的像所组成的集合称为映射的值域记为,即注意:(1)构成映射的三要素:集合,即定义域集合,值域对应法则,对每个有唯一确定的与它对应(2)对每个,元素的像是唯一的.但是,对每个,元素的原像却不一定是唯一的.例1设对每个显然,是映射.它的定义域它的值域对于值域中的元素,若则其原像不唯一.例如:的原像是:两个例2设对每个有唯一确定的与它对应.显然,是映射.它的定义域它的值域-11例3设对每个按定义,是映射.它的定义域它的值域定义设是从集合到集合的映射,若,则称为满射(或到上的).若对

4、中任意两个不同元素,它们的像,则称为单射.若映射既是单射,又是满射,则称为一一映射(或双射)例1中,不是单射,不是满射例2中,不是单射,是满射例3中,是单射,是满射是一一映射2.逆映射与复合映射设是从集合到集合的单射,则根据定义,对每个有唯一的满足这样,我们就得到一个新的映射对每个有唯一的满足的与它对应我们称这个映射为映射的逆映射,记为显然,其定义域其值域按上述定义,可知:只有单射才有逆映射因此,在例1,例2,例3中,只有例3的有逆映射对每个,有唯一的满足的与它对应.(反正弦函数)其定义域其值域设有两个映射且即这样对于每个即这

5、是一个从到的映射,我们称它为映射构成的复合映射,记为即注意(1)映射能构成复合映射的条件是：否则，不能构成复合映射.例如:映射对每个映射对每个不能构成复合映射.(2)映射的复合是有顺序的,即一般地有:例4映射对每个映射对每个显然,映射构成复合映射:对每个,三.函数1.函数的概念定义设数集则称映射为定义在上的函数,记为,称为自变量称为因变量称为定义域记为即称这个值为函数在处的函数值记为,即函数值的全体所构成的集合称为函数的值域，记为，即注意与的区别对应法则函数在处的函数值习惯上，也用或来表示定义在上的函数。对应法则也可用等表示函

6、数可记为有时，也直接用因变量的记号来表示函数，将是的函数，记为构成函数的二要素：（1）定义域（2）对应法则如果两个函数的定义域和对应法则都相同则这两个函数相等。否则，就不相等。函数的定义域的求法：（1）有实际背景的函数根据实际背景中变量的实际意义来求自由落体运动中位置函数与时间的函数关系为比如，开始下落的时刻为落地的时刻为它的定义域是什么？（2）抽象地用算式表达的函数约定：这种函数的定义域是使得算式有意义的一切实数所组成的集合这样的定义域称为自然定义域。在这一约定下，一般的用算式表达的函数可用表达，不必再写为例如函数的定义域是

7、函数的定义域是在函数的定义中，对每个对应的函数值总是唯一的，这样的函数称为单值函数。如果给定一个对应法则，按照这个法则，对每个，总有确定的值与它对应，但这个的个数不总是唯一的，则称这种法则确定了一个多值函数。例如：设变量和之间的对应法则由方程给出.对每个,由方程可确定出对应的值:当对应于(一个值)当对应于(两个值)这是一个多值函数.可化为单值函数来研究.若附加条件:则得到若附加条件:则得到单值分支(单值函数)(单值函数)函数的表示法:(1)表格法(2)图形法(3)解析法(1)符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo(2)取整函数

8、y=[x][x]表示不超过x的最大整数12345-2-4-4-3-2-1321-1-3xyo阶梯曲线易知:(3)狄利克雷(Dirichlet)函数(4)取最值函数yxoyxo作业:P21,习题1-11,3-6(5)绝对值函数定义域值域它的图形：在自变量的不同变化范围中,对应法