函数与极限PPT课件

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1、1.1函数的概念及其初等性质1.1.1预备知识1.一些常用的符号2.实数集有理数集的稠密性：任意两个不同的有理数之间都有无穷多个有理数（无理数集、实数集）（无理数、实数）（无理数、实数）。实数集的连续性：实数集与数轴上点的集合之间建立一一对应关系。实数集是连续的3.常用不等式:绝对值:1.1.2函数的概念一.函数的定义定义函数传统的习惯符号：注意：一个函数也可以在其定义域的不同部分分别用不同的解析式子表示，则称之为分段定义的函数，简称分段函数.有些特殊的函数只能用语言来描述对应法则，并用约定的符号予以表示:称为取整函数例如：[5.3]=[-4.9]=（求极限时有用）12345-2-4-4-3

2、-2-1-1-3xyo阶梯曲线称为非负小数部分函数例3符号函数例4狄利克莱函数1-1xyo••有理数点无理数点•1xyo例5黎曼函数1xyo三.函数的初等性质1．函数的有界性定理2．函数的单调性xyo(>)（减）xyo3．函数的奇偶性证偶函数奇函数4．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.在(无穷)多个正周期中若存在一个最小数，此最小数称为最小正周期。1.1.3复合函数和反函数1.复合函数定义注意:2.反函数不一定！定义结论：定理证明略注意：1xyo12-1-121.1.4初等函数基本初等函数（6类）：常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数.1.常值函数

3、2.幂函数3.指数函数4.对数函数5.三角函数6.反三角函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算所构成的并且可以用一个式子表示的函数,统称为初等函数.双曲函数都是初等函数1.2数列极限引例如何用渐近的方法求圆的面积S？用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.A1A2A3A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积,,.显然n越大,An越接近于S.因此,需要考虑当n时,An的变化趋势.数列如果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列x1,x2,x3

4、,,xn,,这一序列叫做数列,记为{xn},其中第n项xn叫做数列的一般项.数列举例:2,4,8,,2n,;1,-1,1,,(-1)n+1,.一.数列极限的定义数列是整标函数:注意：数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取0-1（1）（2）（3）分析当n无限增大时，下列数列的项的变化趋势及共同特征:..............3递减无限趋近1递增无限趋近0无限趋近摆动问题:意味着什么?如何用数学语言定量地刻划它.定义1定义2注意:用定义”验证数列极限，关键是如何由任意给定的寻找N？具体方法：例1证例2证注:例3证证综合之，故二.收敛数列的性质和

5、运算定理1（唯一性）定理2（有界性）二、收敛数列的性质定理1(极限的唯一性)如果数列{xn}收敛那么它的极限唯一定理2(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛那么数列{xn}一定有界定理3(收敛数列的保号性)如果数列{xn}收敛于a,且a0(或a0)那么存在正整数N当nN时有xn0(或xn0)推论如果数列{xn}从某项起有xn0(或xn0)且数列{xn}收敛于a那么a0(或a0)（用反证法证明）>>>>>>子数列的概念定义左向右任意选取无穷多项，并按它们在原数列中的次序排成一个新的数列，表为：简称子列.定理3推论1定理4推论2定理5（四则运算）注意:四

6、则运算只对有限个收敛数列而言，否则不能用.无穷多个收敛数列这是错误的.