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1、习题7.1GGGGGGGGJGGGGGGGGJG1.设uab=+−35c，va=43−−bc，ω=2ac−，试用abc,,表示向量23uv−+ω.GGJGGGGGGGGGGGG解2uv−+=32(35)(4ωabc+−−−−+abc3)3(2ac−)=81ab+−12c2.证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.→→→→→→证AB=OB−OA；DC=OC−OD，→→→→而OC=−OA，OD=−OB，→→→→→→所以DC=−OA+OB=OB−OA=−AB.这说明四边形ABCD的对边AB=CD且AB//CD，从而四边形ABCD是平行四边形.JJJGGJJJGG
2、GGJJJGJJJGJJJGJJJG3.已知菱形ABCD的对角线AC=a，BDb=，试用向量ab,表示ABBCCDDA,,,。⎯⎯→⎯11⎯→⎯⎯→GG⎯⎯→⎯⎯→1GG解AB=+=−()ACDB(ab)；CD=−=−AB()ba，222⎯⎯→⎯11⎯→⎯⎯→GGBCB=+=+()DACa(b)，22⎯⎯→⎯⎯→1GGDA=−BC=−()ab+。24.把ΔABC的BC边五等分，设分点依次为DDDD,,,，再把各分点与点A连接，试1234JJJGGJJJGGJJJJGJJJJGJJJJGJJJJG以AB==cBC,a表示向量DADADADA,,,.1234⎯⎯→
3、⎯⎯→⎯⎯→G1G解DA=−=BABD−c−a，115⎯⎯→⎯⎯→⎯⎯→GG2DA=−=BABD−c−a，225⎯⎯→⎯⎯→⎯⎯→G3GDA=−=BABD−c−a，335106⎯⎯→⎯⎯→⎯⎯→GG4DA=−=BABD−c−a。4455．在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？A(3,2,5)−；B(1,4,4)−；C(2,1,3)−−；D(2,5,7)−−．解A在第四卦限，B在第五卦限，C在第八卦限，D在第三卦限。6．在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？并指出下列各点的位置：A(3,2,0)；B(0,2,1)；C(2,0,0)；D(0,2,0)−
4、．解在xOy面上的点的坐标为(,xy,0)；在yOz面上的点的坐标为(0,,)yz；在zOx面上的点的坐标为(,x0,)z。在x轴上的点的坐标为(,0,0)x；在y轴上的点的坐标为(0,,0)y；在z轴上的点的坐标为(0,0,)z。A在xOy面上，B在yOz面上，C在x轴上，D在y轴上。7．求点(,,)abc关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标。解(1)点(,,)abc关于xOy面的对称点为(,,)abc−；关于yOz面的对称点为(,−abc,)；关于zOx面的对称点为(,abc−,)。(2)点(,,)abc关于x轴的对称点为(,a
5、bc−,)−；关于y轴的对称点为(,,)−−abc；关于z轴的对称点为(,−−abc,)。(3)点(,,)abc关于坐标原点的对称点为(,,−abc−−)。8．自点Pxyz(,,)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，求出各垂足的坐标。0000解在xOy面、yOz面和zOx面上,垂足的坐标分别为(,,0)xy，(0,y,z)和(,0,)xz。000000在x轴、y轴和z轴上,垂足的坐标分别为(,0,0)x，(0,y,0)和(0,0,z)。0001079.分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？解过点Pxyz(,,)平行于z轴
6、的直线上,点的坐标为(,,)xyz；过点Pxyz(,,)平行0000000000于xOy面的平面上,点的坐标为(,,)xyz。010.一边长为a的立方体放置在xOy面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x轴和y轴上，求各顶点的坐标。解因为底面的对角线的长为2a,所以立方体各顶点的坐标分别为2222(−a)0,0,,(a)0,0,,,0(−a)0,,,0(a)0,,22222222(−a,0,a),(a,0,a),,0(−a,a),,0(a,a)。222211.求点M(4,3,5)−到各坐标轴的距离。解点M到x轴的距离就是点(4,−3,5)与点(4,0,0)
7、之间的距离,即d=(−)32+52=34。x点M到y轴的距离就是点(4,−3,5)与点(0,−3,0)之间的距离,即d=42+52=41。y点M到z轴的距离就是点(4,−3,5)与点(0,0,5)之间的距离,即d=42+(−)32=5。z12.在yOz面上，求与三点AB(3,1,2),(4,2,2)−−和C(0,5,1)等距离的点。解设所求的点为P(0,y,z)与A、B、C等距离,则→
8、PA
9、2=32+(y−)12+(z−)22,→
10、PB
11、2=42+(y+)22+(z+)22,→
12、PC
13、2=(y−)52+(z−)12。→→→
14、PA
15、2=
16、PB
17、2=
18、PC
19、2由
20、题意,有,108⎧32+(y−)12+
