南昌大学第四届高等数学竞赛.doc

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1、南昌大学第四届高等数学竞赛(理工类)试题一、填空题(每空3分，共15分)1、＝.2、设是平面被圆柱面所截的有限部分,则曲面积分=.3、设由方程确定,则=.4、直线与直线的夹角为.5、设曲线弧的方程为椭圆，其周长为，则.二、单项选择题(每题3分，共15分)1、设和在内可导，且，则必有（）(A).(B).(C).(D).2、设是微分方程的一个解，若，则函数在点()(A)取得极大值.(B)某邻域内单调增加.(C)取得极小值(D)某邻域内单调减少.3、已知是某函数的全微分，(A).(B).(C).(D).4、已知曲面上点处的切平面平行于平

2、面，则点的坐标为（）(A).(B).(C).(D).5、设正项级数收敛,则级数的敛散性为()(A)无法判断,与有关.(B)发散.(C)条件收敛.(D)绝对收敛.三、（本题满分6分）设为连续函数,,讨论当时的极限是否存在.四、（本题满分6分）设为连续函数,满足方程,求.五、（本题满分7分）求，其中均为常数，为从点沿曲线到点的一段弧.六、（本题满分7分）设在上连续，且，求.七、（本题满分8分）已知正项级数收敛，试判断数列的敛散性.八、（本题满分7分）计算曲面积分，其中是锥面被平面和所截出部分的外侧.九、（本题满分7分）设，其中函数具有

3、二阶连续导数，求.十、（本题满分7分）设函数满足方程,且由曲线、直线与轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体体积最小，求.十一、（本题满分8分）求级数的和函数.十二、（本题满分7分）设对任意，有，，试证南昌大学第四届高等数学竞赛(理工类)试题答案一、填空题(每空3分，共15分)1、.2、0.3、.4、.5、12.二、选择题(每题3分，共15分)1、C.2、A.3、C.4、C.5、D.三、（本题满分6分）当时，则积分中令则当时，则.（1）当时，的极限存在，（2）当时，的极限不存在四、（本题满分6分）求得通解特解五、（本题满分7分）利

4、用格林公式.添加从点沿直线到点的有向直线段,则.对于,因为为封闭曲线,由格林公式知对于,直接计算所以,.六、（本题满分7分）解：令，则，.于是,原式==解法二：=====七、（本题满分8分）证设级数的前项的部分和由正项级数收敛知存在使得，由于当时，因此又由于是单调递增数列，因此数列收敛.八、（本题满分7分）利用高斯公式.补充有向曲面:下侧；有向曲面:上侧.利用高斯公式,有其中为:.又由于,,故九、（本题满分7分）令，则246=07十、（本题满分7分）方程通解2旋转体体积4=5令十一、（本题满分8分）令，1当时，，，3=，7当，=0

5、十二、（本题满分7分）证在上的一阶台劳公式为,介于与之间.因为所以.于是,有不等式两边在上对积分,得.所以又所以.即