一轮复习函数的最值与值域.doc

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1、§3.函数的最值与值域一、方法总结方法1：形如的二次型函数1.已知函数的值域为，则实数的取值范围是________.方法2：是关于某一个整体的函数，或为无理函数.2.求函数的值域.方法3：形如的函数.3.求函数的值域.方法4：对于分母的次数不超过分子的次数的分式函数.4.已知函数，函数，若，使得成立，则实数的取值范围是________.方法5：当的反函数容易求得时，通过求得其反函数的定义域来求其值域.5.函数的值域为______.方法6：满足均值不等式条件（一正、二定、三相等）的函数.6.设，求的最大值.方法7：含有条件

2、的函数7.已知实数满足，求函数的最小值.方法8：解析式可化为的形式的函数.8.求函数的值域.方法九：对于有界函数.9.函数的值域为________.方法10：对于严格单调函数.10.已知映射，其中，对应法则是，对于实数，在A中不存在原象，则的取值范围是________.方法11：对于超越函数、高次函数.11.在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交轴于点M，过点P作的垂线交轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为，求的最大值.二、综合应用12.已知函数.（1）求的最小值；（2）当时，若，求的最大

3、值.§3.函数的最值与值域一、方法总结方法1：配方法形如的二次型函数1.已知函数的值域为，则实数的取值范围是________.【解析】.当时，，因为，所以值域为..当时，.所以欲使的值域为，只需，即，解之得，即.方法2：换元法是关于某一个整体的函数，或为无理函数.2.求函数的值域.【解析】令，则.于是.再用配方法求其在上的值域.方法3：判别式法形如的函数.3.求函数的值域.【解析】由，得..当时，则，在定义域内，有意义..当时.由，解出的取值范围.综合两种情况，即可得所求的值域.方法4：分离常数法对于分母的次数不超过分子

4、的次数的分式函数.4.已知函数，函数，若，使得成立，则实数的取值范围是________.【解析】当时，.当时，.所以的值域为.由，得在上的值域为.所以只需，即.方法5：反函数法当的反函数容易求得时，通过求得其反函数的定义域来求其值域.5.函数的值域为______.【解析】由，得，解得.所以，即值域为.方法6：均值不等式法满足均值不等式条件（一正、二定、三相等）的函数.6.设，求的最大值.【解析】因为，所以，当且仅当，即时.又因为，所以.方法7：三角代换法含有条件的函数7.已知实数满足，求函数的最小值.【解析】由，得.令.

5、则，化为简谐振动函数求最小值.方法8：斜率模型法（数形结合法）解析式可化为的形式的函数.8.求函数的值域.【解析】因为，所以为单位圆圆上的点与定点的连线的斜率.数形结合，求出线圆相切时的斜率即为的最大值与最小值.方法九：有界性法对于有界函数.9.函数的值域为________.【解析】由，得.由即可解出值域.方法10：单调性法对于严格单调函数.10.已知映射，其中，对应法则是，对于实数，在A中不存在原象，则的取值范围是________.【解析】对于实数，在A中不存在原象，即不在函数的值域内.而在上单调递增，所以，即，则.方

6、法11：导数法对于超越函数、高次函数.11.在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交轴于点M，过点P作的垂线交轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为，求的最大值.【解析】设则，于是.过点P作的垂线，则.于是.则.令，则.1-极大值所以.二、综合应用12.已知函数.（1）求的最小值；（2）当时，若，求的最大值.【解析】.令，则为其一个根，又因为递增，所以只有唯一根.-极小值所以.（2）.令，则.①当时.在上单调递增，在没有最小值，舍去.②当时.令，则.当时，，则递减；当时，则递增.所以.于是只需

7、，则.令，则.令，则(舍去).所以在递增，在递减.所以，即的最大值为.