概率论与数理统计6.第六章：样本及抽样分布.docx

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1、§6.1随机样本一、总体与样本1.总体：研究对象的全体。通常指研究对象的某项数量指标。组成总体的元素称为个体。从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随机变量的分布。2.样本：来自总体的部分个体X1，…，Xn，如果满足：（1）同分布性：Xi，i=1,…,n与总体同分布.（2）独立性：X1，…，Xn相互独立；则称为容量为n的简单随机样本，简称样本。而称X1，…，Xn的一次实现为样本观察值，记为x1，…，xn来自总体X的随机样本X1，…，Xn可记为iidX,,X~X或f(x),F(x),..1n显然，样本联合

2、分布函数或密度函数为n*F(x1,x2,,xn)F(xi)或i1n*f(x1,x2,,xn)f(xi)i13.总体、样本、样本观察值的关系统计是从手中已有的资料——样本观察值，去推断总体的情况——总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体。二、统计量定义：称样本X1，…，Xn的函数g(X1，…，Xn)是总体X的一个统计量,如果g(X1，…，Xn)不含未知参数。几个常用的统计量：n11.样本均值XXi,

3、ni11n222.样本方差S(XiX)n1i12样本均方差(标准差)SS,3.样本k阶矩1nk原点矩AkXini11nk中心矩Bk(XiX),ni1§6.2抽样分布统计量的分布称为抽样分布。数理统计中常用到如下三个分布：2—分布、t—分布和F—分布。一、2—分布iidn2221.构造设X1,,Xn~N(0,1),则Xi~(n).i12称为自由度为n的分布.2.2—分布的密度函数f(y)曲线ny1f(y)1y2e2,y0n/22(n/2)

4、0,y03.分位点设X~2(n)，若对于：0<<1，22存在(n)0满足P{X(n)},则称2(n)为2()n分布的上分位点。4.性质：a.分布可加性:若X~2(n1)，Y~2(n2)，X，Y独立，则X+Y~2(n1+n2)b.期望与方差:若X~2(n)，则E(X)=n，D(X)=2n二、t—分布1.构造若X~N(0,1),Y~2(n),X与Y独立，X则T~t(n)Y/nt(n)称为自由度为n的t—分布。t(n)的概率密度为n1()2n12tf(t)

5、(1)2,tnnn()22.基本性质:(1)f(t)关于t=0(纵轴)对称。(2)f(t)的极限为N(0，1)的密度函数，即2t1limf(t)(t)e2,xn23.分位点设T～t(n)，若对:0<<1,存在t(n)>0，满足P{Tt(n)}=，则称t(n)为t(n)的上侧分位点注:t1(n)t(n)三、F—分布1.构造若1~2(n1)，2~2(n2)，1，2独立，则/nF11~F(n,n).12/n22称为第一自由度为n

6、1，第二自由度为n2的F—分布,其概率密度为n1nnn1(12)(n/n)1/2y2122,y0h(y)(n1)(n2)(1n1y)(n1n2)/222n20,y02.F—分布的分位点对于：0<<1，若存在F(n1,n2)>0，满足P{FF(n1,n2)}=，则称F(n1,n2)为F(n1,n2)的上侧分位点；1F(n,n)注：112F(n,n)21§6.3正态总体的抽样分布定理iidX21.若X,,Xn~N(,),则U~N(0,1)1

7、/n证明:nn11XXi,E(X)E(Xi),ni1ni1n21D(X)2D(Xi)ni1nn个独立的正态随机变量的线性组合,服从正态分布2XX~N(,)~N(0,1)n/niid22.若X1,,Xn~N(,),则2(1)X与S相互独立;22(n1)S122(2)22(XiX)~(n1)i1X(3)T~t(n1).S/n2X(n1)S2(3)证明:U~N(0,1),V2~(n1);/n且U与V独立,根据t分

8、布的构造U~t(n1),得证!Vn1iidiid223.若X,,Xn~N(,),Y,,Y~N(,),11111n222且两样本独立.则22S/(1)F11~F(n1,n1);2212S/2222(2)进一步,假定,就有,12XY()12T~t(n1,n1).其中12S1/n1/nw1222(n1)S(n1)S21122S称为混合样本方差.wnn212第六章练习题一、