概率论与数理统计 — 第六章 样本及抽样分布

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1、沈阳大学科技工程学院教案（续页）授课章节第六章样本及抽样分布目的要求理解总体，样本，样本值，统计量；了解χ2分布，t分布和F分布，分位数；掌握正态总体的抽样分布等内容．重点难点重点：正态总体的某些常用统计量的分布。前五章，主要介绍了概率论的基本概念，掌握了描述随机变量取值规律的方法——离散型用分布律、连续型用密度函数。一旦知道了随机变量的取值规律，我们就可以计算这个随机变量满足各个条件的概率。而从第六章开始到第九章进入数理统计部分。它的思想方法是通过“样本”的数据对“总体”的分布或总体的某些未知参数做出“可靠”的推断。

2、当然，在这个过程中，总体的全部或部分是未知的。第一节随机样本下面，通过一个例子，了解总体、样本、样本值、样本容量等数理统计中的基本概念。例某灯泡厂，一个季度内生产了一大批灯泡，出厂前要对这批灯泡的质量，比如它的寿命，做比较全面的分析。用X表示灯泡的寿命，显然，随取哪只灯泡的不同，它的寿命也不一样。因此，X是个随机变量。如果，我们知道它的分布，我们就知道这批灯泡的质量。称X为总体——我们所关心的某个数量指标的全体。想全面地了解总体，最好的方法就是“普查”，但普查对有些场合是不现实的。比如，本例中的灯泡的寿命就是如此。即便

3、在某些场合，普查是允许的，但投入过多的人力、物力，而使成本加大不划算。注意，这并不是说，普查都不做，全国的人口普查已做了数次。因此，我们想到了“抽样”，在这批灯泡中随机地抽取n只灯泡，每只灯泡都有自己的寿命值，测试前它们都是随机变量，分别记做X1、X2、…、Xn。称X1、X2、…、Xn为样本——总体中的个体。测试后它们各自取到一批值：x1、x2、…、xn。称x1、x2、…、xn为样本值——样本取到的值。称n为样本容量——样本的个数。数理统计就是通过样本对总体做出推断，这就要求样本能够真实地反映总体，样本又是总体中为数不

4、多的个体，那么什么样的样本可以做到这一点呢？就是随机样本。定义：设X为总体，X1、X2、…、Xn为样本，如果每个样本Xi（i=1、2、…、n）与总体X的分布相同，即同分布；X1、X2、…、Xn之间相互独立；则称X1、X2、…、Xn为简单随机样本。数理统计中所使用的样本就是这种样本。如果记总体X的分布函数为F(x)=P{X

5、时，f(x)是它的概率密度，则（X1，X2，…，Xn）的联合概率密度为f(x1,x2,…,xn)=∏f(xi)。第二节抽样分布样本是统计推断的依据，但在使用时，要对不同的推断目标构造不同的样本函数。例如，要推断总体的均值E(X)时，需构造样本的均值,要推断总体的方差D(X)时，需构造样本的方差等等。由样本构成的函数称为统计量，定义如下。定义设X1、X2、…、Xn是来自总体X的一个样本，如果由样本构成的函数g(X1，X2，…，Xn)不含有未知的参数，则称为它为一个统计量。因为样本X1、X2、…、Xn是随机变量，所以g(X

6、1，X2，…，Xn)也是随机变量。当各个样本取到样本值x1、x2、…、xn时，对应的统计量g(X1，X2，…，Xn)取到g(x1，x2，…，xn)，称g(x1，x2，…，xn)为统计量g(X1，X2，…，Xn)的一个观测值。常见的统计量有：样本均值，样本方差，,样本标准差，样本k阶原点矩，样本k阶中心矩样本值x1、x2、…、xn是样本X1、X2、…、Xn的一个随机结果，自然，观测值g(x1，x2，…，xn)是统计量g(X1，X2，…，Xn)的偶然值。事实上，我们最后就是用偶然值g(x1，x2，…，xn)去推断总体的。那

7、么，这个偶然值g(x1，x2，…，xn)有多大的价值？数理统计的主要工作就是分析这个“偶然值”。表面看，统计量g(X1，X2，…，Xn)取到观测值g(x1，x2，…，xn)是偶然的，但它也存在“必然”的成分。下面说明其中的道理。第次第6页沈阳大学科技工程学院教案（续页）假设两个随机变量、，其中μ1和μ2未知。它们的密度函数和图形如下：μ10.16μ20.08如果用X的测试值x估计μ1，用Y的测试值y估计μ2，从上面的图形可以看出，当可靠性（概率）取相同值（如90%）时，y比x更“接近”它的待估计量。当要求两个“接近”相

8、同时，y比x的可靠性更高。能够得到这些有价值的结论，应归功于我们知道了X和Y的分布。综上所述，我们需要知道统计量g(X1，X2，…，Xn)的分布。那么，g(X1，X2，…，Xn)服从什么分布呢？不同的g会有不同的结果。下面给出几种常见的分布，这些分布在统计推断中起着重要的作用。（一）分布(distribution)设为相互独立的随