概率论与数理统计讲义第六章 样本与抽样分布.pdf

《概率论与数理统计讲义第六章 样本与抽样分布.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、第六章样本与抽样分布§6.1数理统计的基本概念一．数理统计研究的对象例：有一批灯泡，要从使用寿命这个数量指标来看其质量,设寿命用X表示。(1)若规定寿命低于1000小时的产品为次品。此问题是求P(X1000)(10000),求F(x)?(2)从平均寿命、使用时数长短差异来看其质量，即求E(x)?、D(x)?。要解决二个问题1/371．试验设计抽样方法。2．数据处理或统计推断。方法具有“从局部推断总体”的特点。二.总体（母体）和个体1.所研究对象的全体称为总体，把组成总体的每一个对象成员（基本单元）称为个体。说明：(1)对总体我们关心的是

2、研究对象的某一项或某几项数量指标(或属性指标)以及他们在整体中的分布。所以总体是个体的数量指标的全体。(2)为研究方便将总体与一个X对应2/37(等同)。a.总体中不同的数量指标的全体，即是的全部取值。b.X的分布即是总体的分布情况。例：一批产品是100个灯泡，经测试其寿命是：1000小时1100小时1200小时20个30个50个X100011001200P20/10030/1003/3750/100(设X表示灯泡的寿命)可知的分布律，就是总体寿命的分布，反之亦然。常称总体X，若～F(x)，有时也用F(x)表示一个总体。(3)我们对每一

3、个研究对象可能要观测两个或多个数量指标，则可用多维随机向量（,…）去描述总体。2.总体的分类有限总体无限总体4/37三．简单随机样本.1.定义6.1：从总体中抽得的一部分个体组成的集合称为子样（样本），取得的个体叫样品，样本中样品的个数称为样本容量（也叫样本量）。每个样品的测试值叫观察值。取得子样的过程叫抽样。样本的双重含义：(1)随机性：用(X，X,……X)n维随机向量表12n示。X表示第i个被抽到的个体，是随机i变量。（1,2,…n）5/37(2)确定性：(x,x,……x)表示n个实数，即是每12n个样品X观测值x(1,2,…n)。

4、ii2.定义6.2：设总体为X，若……12X相互独立且与X同分布，则称n（…X）为来自总体X的容量为n12n的简单随机样本（简称样本）。3.已知总体的分布写出子样的分布(1)已知总体X～F(x),则样品X～iF(x)1,2…n样本（…X）的i12n联合分布为：6/37F(x,x…x)(xx…Xx)12n1122nnn(Xx)ii1(x)nii1若总体X～f(x),样品X～f(x)ii1,2……n样本（……X）的联合密度是：12nf(x,x……x)n(x)12nii1例:总体X～N(,2)，写出该总体样本（…X）的

5、联合密度。12n(2)若总体X是离散型随机变量，一般给出分布律：P(x)=.1,2……要写出概率函数f(x)即f(x)(x)=pki7/37k=1,2…..,i1,2,...,ni例:总体X～()写出该总体样本(X,…)的联合概率函数12例：总体X～B(1)，0p1写出其样本（,……X）的联合概率函数。12n四经验分布函数与直方图1.样本的经验分布函数(1)定义：设(x,x,…x)是来自总体12nX的一组样本值。将它们按由小到大排序为：xx…x…x对任意的12in8/37实数x，定义函数：(x)=0xx

6、1kxxxk1,2,...n1nkk11xxn则称F(x)为总体X的经验分布函n数。(2)格列文科定理:设总体X的分布函数、经验分布函数分别为F(x)、(x),则有：9/37LimSupF(x)F(X)01nnx上式表明，当n，概率为1的有F(x)均匀地趋于F(x)。n2总体的概率密度的估计直方图（第一版）[p143例6.3]可以用下的模块演示。五统计量与样本的数字特征1定义6.3:设X,…是来自总体X12的容量为n的样本，g(x,x,…,x)12n是定义在或子集上的普

7、通函数。如果10/37g中不含有任何未知量，则称g(X,…)12为统计量。2.常用的统计量（样本的数字特征）定义6.4：设X,…是来自总体X的12样本，则称1XnX为样ni11n本均值S2XX2n1i1为样本方差1nMXK,K1,2,3,...为样Knii1本k阶原点矩为样本k阶中心矩3.重要性质11/37定理6.1：设总体X不论服从什么分布，只要其二阶矩存在，即E(X)=μ、D(X)=б2都存在，则：(1)E(X)(X)=μ(2)D()1(X)=2Xnn(3)E(S2)(X)=б2重要恒等式:nX

8、X2nX2nX2ii11§6.2抽样分布12/37统计量是样本的函数，它是一个随机变量。统计量的分布称为抽样分布。一.三个重要分布(一)2分布1.定义6.5：设X，X，…相互独立，12均服从N(0