2013-2019年全国卷立体几何空间向量汇编(带解析)2020新课改专用.docx

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1、全国卷立体几何题汇编2013-2019一、填空选择1、【2016高考新课标理数11】平面a过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，a//平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABA1B1=n，则m，n所成角的正弦值为（）(A)(B)(C)(D)【答案】A2、【2018全国1卷，理12】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A3、【2016全国1卷．文11】平面过正方体的顶点平面，平面，平面，则所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【答案】A考点：平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成

2、的角.4、【2017全国1卷．文6】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）ABCD【答案】A【解析】对于B，易知AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；对于C，易知AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；对于D，易知AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ．故排除B，C，D，选A．5、【2019全国1卷，文16】已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为___________．【答案】26、（2018·理科II卷·9）在长

3、方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A．B．C．D．7、（2017·理科II卷·10）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8、（2014·理科II卷·11）直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90º，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．9、（2013·理科II卷·7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为（）A.B.C.D.【答案

4、】A【解析】因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：故选A．一、解答题1.【2013课标全国Ⅰ，理18】如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．(2)解：由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以

5、OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，

6、

7、为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.2.【2014课标Ⅰ，理19】如图，三棱柱中，侧面为菱形，.（Ⅰ）证明：;（Ⅱ）若，,,求二面角的余弦值.则，，，．,,．设是平面的法向量，则即所以可取．设是平面的法向量，则同理可取．则．所以二面角的余弦值为．3.【2015高考新课标1，理18】如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；（

8、Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.∴，∴EG⊥FG，∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.……6分4.【2016高考新课标理数1】如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，°，且二面角DAFE与二面角CBEF都是．（I）证明：平面ABEF平面EFDC；（II）求二面角EBCA的余弦值．【解析】⑴∵为正方形∴∵∴∵∴面面∴平面平面⑵由⑴知∵平面平面∴平面平面∵面面∴∴∴四边形为等腰梯形以为原点，如图建立坐标系，设，，设面法向量为.，即设面法向量为.即设二面角的大小为.二面角的余弦值为5.【2

9、017新课标1，理18】（12分）如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且°.（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，°，求二面角A−PB−C的余弦值.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）及已知可得，，，.所以，，，.设是平面的法向量，则即可取.设是平面的法向量，则即可取.则，所以二面角的余弦值为.6.【2018新课标1，理18】如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：