专题29 空间向量与立体几何（解答题）（新高考地区专用）（解析版）.docx

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1、专题29空间向量与立体几何（解答题）1．如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，是的中点．（1）求证：平面；（2）设点是的中点，求二面角的余弦值．【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理）【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）平面平面，平面平面=AC，平面，，所以平面，因为平面，所以，因为，是的中点，所以，因为，平面，所以平面．（2）因为平面平面，平面平面=AC，平面，，所以平面，因为平面，所以，以C为原点，CA，CB，CP为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐

2、标系，，，，，，，则，，，由（1）知是平面的一个法向量，设是平面的法向量，则有，即，令，则，，所以，设二面角所成角为，由图可得为锐角，则．【名师点睛】解题的关键是熟练掌握面面垂直的性质定理，线面垂直的判定和性质定理，并灵活应用，处理二面角或点到平面距离时，常用向量法求解，建立适当的坐标系，求得所需点的坐标及向量坐标，求得法向量坐标，代入夹角或距离公式，即可求得答案．2．在四棱锥中，为直角三角形，且，四边形为直角梯形，且为直角，E为的中点，F为的四等分点且，M为中点且．（1）证明：平面；（2）设二面角的大小为，求的

3、取值范围．【试题来源】山东省德州市2020-2021学年高三上学期期末【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）取的中点，连接，，，如图所示：因为，，所以，．因为四边形为直角梯形，且，，所以四边形为正方形，即为的中点．因为，为的中点，所以为的中点．所以．因为，所以．所以平面．因为平面，所以．所以平面．（2）以为原点，，分别为，轴，垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设，，，则，，，．，，，．设平面的法向量，则，令，解得，，故．设平面的法向量，则，令，解得，，故．由图知，二面角的平面角为锐角，所以．故

4、．3．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，且，E为的中点，F是棱的中点，，底面．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）在线段（不含端点）上是否存在一点M，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出此时的长；若不存在，说明理由．【试题来源】天津市滨海七校2020-2021学年高三上学期期末联考【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，．【解析】（1）由题意得，，，所以四边形为矩形，又面，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，，则，则，则，不妨设，则，可得，又，可得，因为直线平面，

5、所以平面．（2）设平面的法向量为，，，则，即，不妨设，可得，设平面的法向量为，，则，即，不妨设，可得，因此有，（注：结果正负取决于法向量方向）于是，所以二面角的正弦值为．（3）设，，由（2）可知平面的法向量为，，有，解得（舍）或，可得，所以．4．在四棱锥中，平面，，，，，，M是棱的中点．（1）求异面直线与所成的角的余弦值；（2）求与平面所成的角的大小；（3）在棱上是否存在点Q，使得平面与平面所成的锐二面角的大小为60°？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．【试题来源】天津市南开中学2020-2021学年高三上学

6、期第四次月考【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】如图，以所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，则，（1），，所以，即异面直线与所成的角的余弦值为（2），，设平面的法向量，则，，所以可取，设与平面所成的角为，则，所以与平面所成的角为；（3）平面的法向量可取，设，则，所以，，设平面的法向量为，则，，可取，因为平面与平面所成的锐二面角的大小为60°.所以，所以，解得或（舍）所以，所以5．如图，在正四面体中，点E，F分别是的中点，点G，H分别在上，且，．（1）求证：直线必相交于一点，且这个交点在直线上；（2）求

7、直线与平面所成角的正弦值．【试题来源】陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试（理）【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）因为，，所以且，故E，F，G，H四点共面，且直线必相交于一点，设，因为平面，所以平面，同理：平面，而平面平面，故平面，即直线必相交于一点，且这个交点在直线上；（2）取的中点O，则，所以平面，不妨设，则，，所以，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，，，，设平面的法向量为，由可得，令，则，则，故直线与平面所成角的正弦值为．6．如图，已知四边形为菱形，

8、对角线与相交于O，，平面平面直线，平面，（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．【试题来源】江西省五市九校协作体2021届高三第一次联考【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）因为四边形为菱形，所以，平面，平面，平面，因为平面平面直线平面，所以；（2）因为四边形为菱形，所以，因为平面，所以以O为坐标原点、OA，OB，OF为x，y，z轴建立空间直角坐标系，取CD中点M