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1、1.（2009北京卷）（本小题共14分）如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.解:如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设则，（Ⅰ）∵，∴，∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，∴平面.（Ⅱ）当且E为PB的中点时，，设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，∵，∴，∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.2.(2009山东卷)（本小题满分12分）EABCFE1A1B1C1D1D如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABC
2、D为等腰梯形，AB//CD，AB=4,BC=CD=2,AA=2,E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。（1）证明：直线EE//平面FCC；（2）求二面角B-FC-C的余弦值。-16-解法二:（1）因为AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中点,EABCFE1A1B1C1D1DxyzM所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,因为ABCD为等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中点M,连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,,则D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,C
3、1（0,2,2）,E（,,0）,E1（,-1,1）,所以,,设平面CC1F的法向量为则所以取,则,所以,所以直线EE//平面FCC.（2）,设平面BFC1的法向量为,则所以,取,则,,,所以,由图可知二面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值为.3.（2009全国卷Ⅱ）（本小题满分12分）如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面（I）证明：（II）设二面角为60°，求与平面所成的角的大小。（I）分析一：连结BE，为直三棱柱，-16-为的中点，。又平面，（射影相等的两条斜线段相等）而平面，（相等的斜线段的射影相等）。分析二：取的中点，证四边形为平行四边形，进
4、而证∥，，得也可。分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。（II）分析一：求与平面所成的线面角，只需求点到面的距离即可。作于，连，则，为二面角的平面角，.不妨设，则.在中，由，易得.设点到面的距离为，与平面所成的角为。利用，可求得，又可求得即与平面所成的角为分析三：利用空间向量的方法求出面的法向量，则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益4.（2009全国卷Ⅰ）(本小题满分12分)如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，
5、点在侧棱上，。（I）证明：是侧棱的中点；求二面角的大小。解法二、分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D—xyz，则。-16-SABCDMzxy（Ⅰ）设，则，，由题得，即解之个方程组得即所以是侧棱的中点。法2：设，则又故，即，解得，所以是侧棱的中点。（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面、的法向量，则-16-且，即且分别令得，即，∴二面角的大小。5.（2009天津卷）（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(
6、II)证明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点。设依题意得（I）所以异面直线与所成的角的大小为.（II）证明：，（III）-16-又由题设，平面的一个法向量为6.（2009年上海卷）（本题满分14分）如图，在直三棱柱中，,,求二面角的大小。【解】如图，建立空间直角坐标系则A（2，0，0）、C（0，2，0）A1（2，0，2），w.w.w.k.s.5.u.c.o.mB1（0，0，2）、C1（0，2，2）……2分设AC的中点为M，∵BM⊥AC,BM⊥CC1;∴BM⊥平面A1C1C,即=(1,1,0)是
7、平面A1C1C的一个法向量。……5分设平面的一个法向量是=（x，y，z），=（-2，2，-2），=（-2，0，0）……7分设法向量的夹角为，二面角的大小为，显然为锐角-16-…………………….14分7（2010湖南）18.（本小题满分12分）如图所示，在长方体中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M118.解Ⅰ）如图，因为，所以异面直线Ｍ和所成的角，因为平面，所以，而=1，，故.即异面直线Ｍ和所成的角的正切值为（Ⅱ）由平面，BM平面，得BM①
