空间向量立体几何解析与练习

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1、空间向量、立体几何复习重点一：空间几何体的三视体积与表面积【例1】一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为直角三角形，边忪如图所示，那么这个几何体的体积为()D.4俯视H【分析】根据三个试图可以知道这个儿何体是一个一条侧棱和底面垂直，底面是直角三角形的三棱锥。【解析】该儿何体是底而两直角边长分别是1，2的直角三角形，高为3的三棱锥，故其体积为-X—xlx2x3=lo32【点评】主试图和侧视图的高就是实际几何体的高。【例2】已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为1,等腰三角形的腰长为

2、则该几何体的体积是()A.C.S/TTD.10/T【分析】这个空间儿何体是一个圆锥和一个半球组成的组合体，把其屮的数量关系找出来按照圆锥和球的体积计算公式计算就行.【解析】A这个几何体是一个底而半径为1,高为2的圆锥和一个半径为1的半球组成的组合体，故1144/r其体识力一；TXl2x2+—x—;rxl3=——.【点评】空间几何体的三视图是课标高考的一个考点，主要考查方式之一就是根据三视图还原到原来的空间儿何体，并进行有关的计算.重点二：空间点、线、面位置关系的判断【例3】已知m、At是不重合的直线，汉和P是不重合

3、的平面，有下列命题：(1)若mc汉，《//6Z，则m//n;(2)若mHa'm//fi、则汉///?;(3)若=m//n,则m//6Z且(4)若m丄,mi/3，则汉///?其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3【分析】(1)是假命题，如果一条直线平行于一个平面，该直线不与平面A所有直线平行，只与部分直线平行；（2）是假命题，平行于同一直线的两平面的位置关系不确定；（3）是假命题，因为m可能为汉和夕内的直线，则m//汉且m//夕不一定成立；（4）是真命题，垂直于同一直线的两平面平行。【解析】选B。【点评】本题

4、考查的是有关线面关系命题的真假，所以通过利川定理來解决上述有关问题。【例4】在下列关于直线/、m与平面汉和的命题中，真命题的是（）八.若/<=/?且汉丄/?,，贝IJ/丄汉；B.若/丄夕且汉//夕，WU/丄汉；C.若/丄0且汉丄贝IJ///6Z;D.若aa/?=m且///m，则I//a【分析】高考中通常以选择或填空的形式来考查垂直关系的判定。A显然是错误的；C屮/可在平角汉内，故///汉错误；£>屮/可在平角汉

5、Aj,故///汉错误；【解析】选S。【点评】该题主要考查的是想象能力和位置关系。【例5】正方体ZlfiC

6、D-今对角线平面=AC和BD交于点M,求证:点C；、0、A/共线。【分析】要证明若干点共线问题，只需要证明这些点同在两个相交平面内即可。【证明】如图所示，由//C；C,则确定平面儿^C。•••'Cc平面AA,C,0eA,C,•••Oe平而AA,C。又养Ca平面...平面BDC,。0在平而SDq与平面的交线上。又=平面儿a平面/.OeC,M,即0、C、三点共线。【点评】该题的考叫是点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平而的公共点，这样就可以根据公理2证明这些点都是在这两个平面的交线上。重点三：空间线面位置关系

7、的证明和角的计算【例6】是边长为“正方体，计算下列问题：（1）成角的大小;⑵若E、F、G、//为对应棱的中点，求EF，GH所成的角。【分析】该题可以采用平移法，即将£F，GH平移到和即可。【解析】贝ij//，所以BC,丄尽C,则丄尽C,即与孕（？所成角为（2〉连B,D[fJSiJEF//B,D,,GH"AB'，ZD"即为和GH所成的角，因力为正三角形，/.ZD,B,A=60°,即和GH所成的角力60MBDC~AB=2.图2【点评】掌握此类棊本题的解法，也是反映同学们的立体几何基础。【例7】如图，四棱锥尸一中，丄底

8、面尸C丄4Z）.底面ABC/）为梯形,AB//DC，丄BC•PA=AB=BC，点£在棱上，且P£=2£B.（1）求证：平面P/4B丄平面尸CS;（2）求证：/V）//平而£4C;（3）（理）求平面A£C和平而PSC所成锐二谢角的余弦值.【分析】（1）根据两个平面垂直的判定定理，寻找一个面对一条直线垂直于另一个平面；（2）根据线面平行的判定定理，寻找线线平行：（3）可以利用传统的方法作出二面角的平面角解决，也可以利用空间向S的方法解决。【解析】（l）YPA丄底面A5CD,•••PA丄BC.又Afi丄fiC,PAHAB

9、=A,:.fiC丄平面凡又5Cc平面PCB,.•.平面丄平面尸CB.（2）•••凡4丄成而ABCZ），/./M丄AD,又尸C丄AZ），丄平而PAC，/.AC丄欠在梯形仙CD中，⑽丄此，仙4C’得观C+^DCA-^BAC-l又AC丄AD,故AZMC为等腰直角三角形.ADC=42AC=72(72AB)=2AB.PEDM在△B/V)中，-=^-=2,:.PDIIE