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1、2.3平面向量的基本定理及其坐标表示授课老师：张晴1.向量加法与减法有哪几种几何运算法则？复习引入向量的加法(三角形法则)aba+baba+b向量的加法(平行四边形法则)向量的减法(三角形法则）aba-b复习引入2.怎样理解向量的数乘运算λa？（1）
2、λa
3、=
4、λ
5、
6、a
7、；（2）λ>0时，λa与a方向相同λ<0时，λa与a方向相反；λ=0时，λa=0.3.平面向量共线定理非零向量a与向量b共线存在唯一实数λ，使b＝λa.复习引入设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：①λ(μa)=(λμ)a②
8、(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb特别地:4.平面向量数乘的运算律思考1：给定平面内任意两个向量e1，e2，如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？e1e22e2BCO3e1Ae1D3e1＋2e2e1-2e2新课引入：平面向量基本定理思考1：如图，设OA，OB，OC为三条共点射线，P为OC上一点，能否在OA、OB上分别找一点M、N，使四边形OMPN为平行四边形？MNOABCP探索研究OABCMNOABCMN思考4：在上图中，设=e1，=e2，=a，则向量分别与e1，e2的关系如何
9、？从而向量a与e1，e2的关系如何？思考5：若上述向量e1，e2，a都为定向量，且e1，e2不共线，则实数λ1，λ2是否存在？是否唯一？OABCMNOABCMN思考2：若向量a与e1或e2共线，a还能用λ1e1＋λ2e2表示吗？e1aa=λ1e1+0e2e2aa=0e1+λ2e2根据上述分析，平面内任一向量a都可以由这个平面内两个不共线的向量e1，e2表示出来，叫做平面向量基本定理.若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋
10、λ2e2.我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。新课讲授：平面向量基本定理对定理的理解:1)基底:不共线的向量e1e2。同一平面可以有不同基底2)平面内的任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和的形式；3)分解是唯一的新课讲授：平面向量基本定理那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a的表示式是否相同？若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线的向量
11、e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。思考：已知两个非零向量a和b如图，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量的夹角当θ=0°时，a与b同向当θ=180°时，a与b反向a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b共起点思考:正△ABC中,向量AB与BC的夹角为几度?ABCDoBAabθ新课讲授：向量的夹角GF1F21.如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？2.在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量
12、的加法运算.力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论.新课引入：平面向量的正交分级及坐标表示G=F1+F2叫做重力的分解类似的，由平面向量的基本定理，对于平面上的任意向量a，均可以分解成不共线的两个向量实数λ1e1，λ2e2，使a＝λ1e1＋λ2e2。在不共线的两个向量中，垂直是一种重要是情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的
13、坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。思考：ayjiO图1xxiyj则：i=（1，0）；j=（0，1）；0=（0，0）a=xi+yj我们把（x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a=(x，y),其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，（x,y）叫做向量的坐标新课讲授：平面向量的坐标表示ayjiO图1xxiyjyxOyxjA（x,y）a如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由a唯一
14、确定。设OA=xi+yj，则向量OA的坐标（x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标（x,y)也就是向量OA的坐标。因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。i例1如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标。jyxOiaA1AA2bcd解：由图3可知a=AA1+AA2=2i+3j,∴a=(2,3)同理，b=-2i+3j=(-2,3)c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3)1.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面
