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《平面向量基本定理及其坐标表示考点解读》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、基础梳理1．平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理定理：如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.其中，不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}，a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式．(2)平面向量的正交分解如果基底的两个基向量e1，e2互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解．(3)平面向量的坐标表示①在直角坐标系xOy内，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1，e2，这时，就在坐标平面内建立了一个
2、正交基底{e1，e2}，e1，e2分别是与x轴和y轴同方向的单位向量，这个基底也叫做直角坐标系xOy的基底．在坐标平面xOy内，任作一向量＝a，由平面向量基本定理知，存在唯一的有序实数对(a1，a2)，使得a＝a1e1＋a2e2，(a1，a2)就是向量a在基底{e1，e2}下的坐标，即a＝(a1，a2)，显然，0 ＝(0,0)，e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．②在直角坐标系中，一点A的位置被点A的位置向量所唯一确定．设A(x，y)，则＝xe1＋ye2＝(x，y)．2．直线l的向量参数方程式若A，B是直线l上任意两点，O是l外一点，则对直线l上任意一点P，一定存在唯一的实数t，使＝
3、(1－t)＋t①，并且满足①式的点P一定在直线l上，向量等式①叫做直线l的向量参数方程．3．平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)，
4、a
5、＝.(2)向量坐标的求法：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
6、
7、＝.(3)平面向量共线与垂直的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b⇔x1y2－x2y1＝0；若a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.一个区别向量坐标与点的坐标的区别：在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量＝a，点A的位置被
8、向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a＝＝(x，y)．当平面向量平行移动到时，向量不变，即＝＝(x，y)，但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．两个防范(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.双基自测51．(人教B版教材习题改编)已知a1＋a2＋…＋an＝0，且an＝(3,4)，则a1＋a2＋…＋
9、an－1的坐标为( )． A．(4,3)B．(－4，－3)C．(－3，－4)D．(－3,4)解析 a1＋a2＋…＋an－1＝－an＝(－3，－4)．答案 C2．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝( )．A．3a＋bB．3a－bC．－a＋3bD．a＋3b解析 设c＝xa＋yb，则∴∴c＝3a－b.答案 B3．(2012·郑州月考)设向量a＝(m,1)，b＝(1，m)，如果a与b共线且方向相反，则m的值为( )．A．－1B．1C．－2D．2解析 设a＝λb(λ＜0)，即m＝λ且1＝λm.解得m＝±1，由于λ＜0，∴m＝
10、－1.答案 A4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a、3b－2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c＝( )．A．(4,6)B．(－4，－6)C．(4，－6)D．(－4,6)解析 设c＝(x，y)，则4a＋(3b－2a)＋c＝0，∴∴答案 C5．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.解析 a＋b＝(1，m－1)．∵(a＋b)∥c，∴2－(－1)(m－1)＝0，∴m＝－1.答案 －1 考向一 平面向量基本定理的应用【例1】►(2012·南京质检)如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B，
11、C的任一点，M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.[审题视点]由B，H，C三点共线可用向量，来表示.解析 由B，H，C三点共线，可令＝x＋(1－x)，又M是AH的中点，所以＝＝x＋(1－x)，又＝λ＋μ.所以λ＋μ＝x＋(1－x)＝.答案 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．【训练1】如图，两块斜边长相等
