2、an
3、≤M摆动数列从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项1.数列的定义按照①一定顺序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做这个数列的②项.教材研读2.数列的分类4.数列的通项公式如果数列{an}的第n项与⑩序号n之间的关系可
4、以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.5.已知数列{an}的前n项和Sn,则an=3.数列的表示法数列有三种表示法,它们分别是⑦列表法、⑧图象法和⑨通项公式法.判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)所有的数列都有通项公式,且通项公式在形式上一定是唯一的.(×)(2)数列是一种特殊的函数.(√)(3)根据数列的前几项归纳出来的数列的通项公式可能不止一个.(√)(4)如果数列{an}的前n项和为Sn,则∀n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn.(√)(5)若已知数列{an}的递
5、推公式为an+1=,且a2=1,则可以写出数列{an}的任何一项.(×)1.已知n∈N*,给出4个表达式:①an=②an=,③an=,④an=.其中能表示数列:0,1,0,1,0,1,0,1,…的通项公式的是( )A.①②③ B.①②④C.②③④ D.①③④答案A 检验知①②③都可以是所给数列的通项公式.2.已知数列{an}的通项公式为an=n2-8n+15,则3( )A.不是数列{an}中的项B.只是数列{an}中的第2项C.只是数列{an}中的第6项D.是数列{an}中的第2项或第6项答
6、案D 令an=3,即n2-8n+15=3,解得n=2或6,故3是数列{an}中的第2项或第6项.3.数列{an}中,若an+1=,a1=1,则a6等于( )A.13 B.C.11 D.答案D ∵an+1=,a1=1,∴a2=,a3=,a4=,a5=,a6=,故选D.4.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-2n+2,则数列{an}的通项公式为( )A.an=2n-3 B.an=2n+3C.an=D.an=答案C 当n=1时,a1=S1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n
7、-3,由于n=1时,a1=1不适合上式,故an=选C.5.数列{an}满足:a1=2,an=1-(n=2,3,4,…),则a12=.答案-1解析由a1=2,a2=1-=,a3=1-=-1,a4=1-=2,可知{an}是周期为3的周期数列,则a12=a3×4=a3=-1.考点一 由数列的前几项归纳数列的通项公式典例1根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:(1)-1,7,-13,19,…;(2)0.8,0.88,0.888,…;(3),,-,,-,,…;(4),1,,,….解析(1)符号问题可通过(-1)
8、n或(-1)n+1来调整,原数列各项的绝对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面一个数的绝对值大6,故原数列的一个通项公式为an=(-1)n·(6n-5).考点突破(2)将数列变形为×(1-0.1),×(1-0.01),×(1-0.001),……,故原数列的一个通项公式为an=.(3)各项的分母分别为21,22,23,24,…,易看出第2,3,4,…项的分子分别比分母少3,因此把第1项变为-,则原数列可化为-,,-,,……,∴原数列的一个通项公式为an=(-1)n·.(4)将数列变为,,,,…,对于分子3,5
9、,7,9,…,是相应项数的2倍加1,可得分子的一个通项公式为bn=2n+1,对于分母2,5,10,17,…,联想到数列1,4,9,16,…,即数列{n2},可得分母的一个通项公式为cn=n2+1,∴原数列的一个通项公式为an=.方法指导(1)根据所给数列的前几项求其一个通项公式时,需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项符号特征.(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法,它蕴含着“从特殊到一般”的思想,由不完全归纳得出的结果
10、是不可靠的,要注意代值检验,对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.1-1根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:(1)1,3,5,7,…;(2)2,5,10,17,…;(3),,,,,…;(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…;(5)1,2,2,4,3,8,4,16,5,….解析(1)数列的前4项1,3,5,7都是项数的2倍减1,所以原数列的一个通项公式
