高中数学函数极点与极线探秘.docx

《高中数学函数极点与极线探秘.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、极点与极线探秘第一讲极点和极线的定义及极点与极线的作图极点与极线是高等几何中的重要概念，虽然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律.一极点和极线的定义和性质在圆锥曲线方程中，以替换，以替换，以替换，以替换，即可得到点的极线方程．已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的

2、一对极点和极线.从定义我们共同思考和讨论几个问题:1．若点在椭圆上，则其对应的极线是什么?椭圆的两个焦点对应的极线分别是什么?（1）对于椭圆，与点对应的极线方程为；当为其焦点时，极线变成，恰是椭圆的右准线．（2）对于双曲线，与点对应的极线方程为；当为其焦点时，极线变成，恰是双曲线的右准线．（3）对于抛物线，与点对应的极线方程为．当为其焦点时，极线变为，恰为抛物线的准线．2.过椭圆上（外、内）任意一点，如何作出相应的极线？（1）当点在圆锥曲线上时，其极线时曲线在点点处的切线；（2）当点在外时，其极线时曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦

3、所在的直线）；（3）当点在内时，其极线时曲线过点的任一割线两端点处的切线交点的轨迹．为了表达方便，我们给出圆锥曲线内部和外部的定义．圆、椭圆是封闭图形其内部和外部很好界定，抛物线、双曲线不是封闭的是开的，对双曲线和抛物线的内部和外部给出如下定义：焦点所在的平面区域称为该曲线的内部，不含焦点的平面区域称为曲线的外部，曲线上的点既不在内部也不在外部．注意：证明书写过程请参考下一讲《抛物线切线与阿基米德三角形》中的“导、差、代、联”即可，这里不作详述。二极点与极线的作图（几何意义）如图1，设是不在圆锥曲线上的一点，过点引两条割线依次交圆锥曲线于四点，连

4、接交于，连接交于，则直线为点对应的极线.若为圆锥曲线上的点，则过点的切线即为极线.由图1同理可知，为点对应的极线，为点所对应的极线.因而将称为自极三点形.设直线交圆锥曲线于点两点，则恰为圆锥曲线的两条切线.如图2，设点关于圆锥曲线的极线为，过点任作一割线交于，交于，则①；反之，若有①成立，则称点调和分割线段，或称点与关于调和共轭，或称点(或点)关于圆锥曲线的调和共轭点为点(或点).点关于圆锥曲线的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点的极线.注意：关于分割和调和分割问题，在《秒1》的定比点差法破解极点与极线中有阐述，可以参考。图3配极原则：点关于圆

5、锥曲线的极线过点点关于的极线经过点;直线关于的极点在直线上直线关于的极点在直线．由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线．极点极线垂直定理:如图3，设圆锥曲线的一个焦点为，与相应的准线为．（1）若过点的直线与圆锥曲线相交于两点，则在两点处的切线的交点在准线上，且;（2）若过准线上一点作圆锥曲线的两条切线，切点分别为，则直线过焦点，且；（1）若过焦点的直线与圆锥曲线相交于两点，过作交准线于，则连线是圆锥曲线的两条切线．注意：极点与极线一般在小题中直接用很爽，但是在大题中，由于不在中学的课本范围内，基本上都无法直接使用，那么解答题中我们只给出

6、思路，很多书写过程还是参考之后提到的切线部分的阿基米德三角形写法，曲线系写法或者定比点差写法．三．极点极线的应用1.求切线和切点弦方程问题【例1】（2013•山东）过点作圆的两条切线，切点分别为、则直线的方程为（）A．B．C．D．【解析】法一：因为过点作圆的两条切线，切点分别为，，所以圆的一条切线方程为，切点之一为，显然、选项不过，、不满足题意；另一个切点的坐标在的右侧，所以切线的斜率为负，选项不满足，满足．故选：．法二：切点弦所在的直线就是点对应的极线，故其方程为，即．故选A．【例2】（2019•武汉模拟）过椭圆内一点，做直线与椭圆交于点，作直

7、线与椭圆交于点，过分别作椭圆的切线交于点，过分别作椭圆的切线交于点，求所在的直线方程．【解析】过点、、、的切线方程为分别为，，，，因点，在，上，则，，这表明，，，，在直线上，同理所在的直线方程为，因为直线，相交于点，所以，，所以、所在的直线方程为．本题实质就是求椭圆内一点对应的极线方程，、所在的直线方程为．2.讨论直线与圆锥曲线的位置关系【例3】（2010•湖北）已知椭圆的两个焦点，点满足，则的取值范围为，直线与椭圆的公共点个数是．【解析】依题意知，点在椭圆内部且与原点不重合．画出图形，由椭圆方程得，由数形结合可得，当点在线段上除原点时，，当在椭

8、圆上时，，故的取值范围为．由题意知，点和直线恰好是椭圆的一对极点和极线，因为点在椭圆内，所以极线与椭圆相离，故极线与椭圆公共点的个数为零