基于极点、极线求解切线问题

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1、万方数据，l一、代数定义标杆·命题揭秘极点＼辍线求解切线问题江志杰对于二次曲线C：Ax2+Bzy+Cy2+Dx+Ey+F一0，称点P(x。，Y。)与直线Z：Az。z+B学+cy。y+D半+E学+F一0是它的一对极点和极线．也称点P为直线l关于曲线C的极点，直线z为点P关于曲线C的极线．特别地，对于圆锥曲线C：Az2+Cy2+Dx+Ey+F一0，称点P(z。，Y。)与直线Z：Az。z+c弘y+Dx了-PJCo+E芝专业+F=o是它的一对极点和极线．特别地，对于椭圆c：x了zT矿yZ一1(口>6>o)，或双曲线C．xA口。一葶一1(口>o，6>o)，点T(t，0)与直线t：z一竺_是

2、它的一对极点和极线；焦点F(c，o)与准线厂：z一专也是它的一对极点和极线．特别地，对于抛物线C：Y2—2px，点T(￡，0)与直线t：z=一t是它的一对极点和极线；焦点F(号，o)与准线flx一--号也是它的一对极点和极线．～二、几何性质1．若点P和直线Z是圆锥曲线C的一对极点和极线，则当极点P在曲线C上时，极线Z就是曲线C在点P处的切线．证明由Ax2+Cy2+Dx+Ey-kF=0两边对z求导，得2Ax+2Cyy7+D+Ey7-o，帅，=一秀糍．设极点P(z。，Y。)，故曲线C在点P处的切线方程为Y--yo一一群(,Tg--．7C0)，即Ax。xq-Cy。y+D号+E号一Azj

3、—c媚一D警一E警_0．因为点P在曲线C上，必有Az：+Cy3+Dxo+Eyo+F一0，即一Axj—Cy5一Dxo+Eyo+F．代入得曲线C在点P处的切线方程为Axox+C弘y+D兰专旦+E芝专盟+F—o．所以极线Z：Axox+Cy。y+D3—c-iJ-一xo+E掣+F=0就是曲线C在点P处的切线．由此可得：矿——峰一徽万方数据标杆·命题揭秘(1)过圆X2+y2+Dx+Ey+F一0(D2+E2—4F>0)(或(z一口)2+(y--b)2一r2)上的点P(z。，Y。)的切线(P为切点)方程为w+yoy+D半+E学+F—o(或(zo-a)(x-a)+(y。--b)(了一6)=r2)；

4、(2)过椭圆与+鲁一1(口>6>o)上的点a。0。P(x。，yo)的切线(P为切点)方程为等+yoy——1b21’(3)过双曲线事一等一1(口>o，b>0)A2的点P(z。，Y。)的切线(P为切点)方程为墅兰一Yo__2：1．n2b21’(4)过抛物线Y2—2px上的点P(z。，Y。)的切线(P为切点)方程为YoY—P(z—卜zo)．2．若点P和直线Z是圆锥曲线C的一对极点和极线，则当极点P在曲线C外时，过极点P可作曲线C的两条切线，设切点分别为M，N，则极线Z就是直线MN．证明设点M(x1，Y1)，N(x：，y2)，由性质1，可得直线PM，PN的方程分别为Azlz+cyly+D

5、三专旦+E芝专盟+F=o，Ax2x+cy2y+D半+E半+F_0．设极点P(x。，yo)，故有Axlz。+Cyly。+D三生}翌+E业{卫+F一0，Azzz。+Cyzyo+D三止}垒+E出{丝+F—o．说明极线Z：Az。z+Cyoy+Dx下一-xo+E掣+F一0过M，N两点，所以极线z对极点和极线，则当极点P在曲线C内时，过极点P作任一直线，与曲线C交于M，N两点，则极线z过曲线C在M，N两点处的两切线的交点Q．证明设点Q(xQ，yQ)，由性质2，可得直线MN的方程为AxQx+c了Qy+D牮+E掣+F=o．设极点P(x。，y。)，又直线MN过点P，故有Axoxo+Cyoyo+D牮

6、+E塑弓盟+F一0．说明极线z：Az。z+Cy。y+Dx下Jr-xo+E半+F—o过点Q．4．若点P和直线2是圆锥曲线C的一对极点和极线，过极线l上、曲线C外的点Q可作曲线C的两条切线，设切点分别为M，N，则极点P在直线MN上．证明设点Q(xQ，YQ)，由性质2，可得直线MN的方程为AzQx+CyQy+Dx—-i卜X—Q+E掣+F=o．设极点P(z。，Y。)，又点Q在极线Z：Ax。x+Cy。y+Dx丁-。f-xo+E学+F—o上，故有Az。zQ+Cy。yQ+DX—QF"-[-Xo+E半+F—o．说明点P在直线MN匕．(编者按实际上，设过极点P的直线与曲线C交于A，B两点，那么极线

7、Z即为极点P关于线段AB的“调和点”Q的轨迹．)，≮三、应用举例就是直线MN．3．若点P和直线z是圆锥曲线C的一彭例1(2011年福建理科卷)已知直线万方数据Z：y—z+m，m∈R．(1)若以点M(2，0)为圆心的圆与直线Z相切于在Y轴上的点P，求该圆的方程；(2)若直线Z关于z轴对称的直线为Z7，问直线Z7与抛物线C：z2=4y是否相切?解析(1)设圆M的方程为(x--2)2+y2一，．2，则过点P(o，m)的切线方程为(0—2)(x-2)-+-my—r2，即一2x+my+4一