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《高中求解切线问题的综述》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、高中求解曲线切线的综述求解曲线切线，是高中数学中一种常见的题目，由于切线是直线与曲线相交与不相交的临界状态，因此一些直线与曲线相离或相交的収值范围问题，也可以归为求切线的一种方法。此外在求最值问题，很多本质也是求解切线问题。此外切线的斜率等于切点的导数，所以在切线问题往往和求导也有一些联系，因此切线问题是高屮学习的重点，也是难点，下而就总结求解切线问题的方法。一、判别式法判别式法是先消去一个未知数(兀或者y),得到一个关于x或者y的二次方程，再令判别式为零，求解直线的相关系数，从而求解切线方程。优点：1、所有求二次曲线方程的通用方法；2、门槛低，初中生就可以掌
2、握，方法固定。缺点：1、计算量大，尤其在圆锥曲线里面，有时参数要达到四次；2、往往对一些特殊情况要单独讨论(比如斜率不存在的切线)。例1：求抛物线方程y=x2的图像在(1,1)上的切线。解：设切线方程的斜率为根据点斜式方程，可得切线方程为y-l=k(x-l)f即y=也+(1—£),代入曲线方程整理得F-尬+£-1=(),令△二疋一4(£一1)=0,解得k=2,所以切线方程为y=2x-io虽然判别式法计算繁琐，但是在计算双曲线的切线的时候，也只能用这种方法。二、求导法求导法是利用可导函数在某一点切线的斜率等于该点的导数来求解切线方程。优点：1、适用面广，高中所学
3、的所有函数几乎都可以用求导法求解切线；2、计算量相对较小。缺点：1、高中阶段，对于圆，椭圆，双曲线无能为力，而这些曲线的切线却是高考常考的内容。2、门槛高，导数大多数在高二下半年学习，有时候需要求解高次方程或者超越方程。1、用求导法求解在曲线上一点的切线方程可用求导先求出切线的斜率，再求出切点，最后用点斜式方程求出切线例2：求函数y=在兀=1处的切线。M：y'所以该切线的斜率为y
4、,=1=e>,所以切点为(10。根据点斜式方程，可得切线方程为y-e=e(x-l),即y=2、用求导法求解经过平面上一点函数/（兀）图像的切线方程可先设切点为（兀（）,％），则切线的
5、斜率可表示为£匚Z利用厂（兀0）二比二必匚空，与x（）-mx0-m/（x0）=儿联立求解切点坐标（x0,y（））,进而求出切线方程。例3：已知函数y=lnx图像的一条切线经过原点，求这条切线的方程。解：设切点为（%0,y0）,由于切线过原点，因此切线的斜率为£=卫二°=心。兀0-0兀°/=y，
6、r_x=丄，所以有丸二丄，解得y（）=l,因为y（）=Inx（）,所以兀（）=sX■°x0兀（）x0因此切点为（匕1）,斜率为—切线方程为？一1=丄（兀-£）,即y=-xox0eee3、用求导法求解三次函数的既是切线又是割线的情况经过三次函数上的一点P（m,n）的切线有
7、可能有两种，一种是在P点相切的切线，另一种是在P点相交而切于其他点的切线。求解第二种切线的时候很难避免的求解一个三次方程，而解这个三次方程的诀窍就是兀二加是这个方程的一个根。例4：求解经过（2,8）点，函数y=F的切线。解:由于（2,8）点在函数y=F的图像上，因此分两种情况：当（2,8）为切点时，上文已经讲过不在赘述，切线方程为y=12x-16。当（2,8）不为切点时，设切点为（x09y0）f切线方程的斜率为卫二y=3并,兀0一2=3x~f考虑到儿二总，所以兰口X。一2=3琉,整理得卅一3丘+4=0。这是一个三次方程，但是点（2,8）的横坐标2,—定是这个三
8、次方程的根，所以x0-2是总-3卅+4的因式（事实上可以用代数基本定理证明（x0-2）2也是卅-3对+4的因式）。因此有仇―2）2（忑+1）=0,解得心=2（舍去），x0=-l,y0=x^=-lf所以切点为（-1,-1），斜率为『
9、“1=3丘=3,因此切线方程为y=3x+2。综上，切线方程为y=12x—16或y=3x+24、求导法求曲线上的一点到定直线的最短距离求可以求与直线平行的切线方程，在求两条直线的距离就是曲线上一点到直线的最短距离例5：已知函数y=x2+2x图像上的一点P,求P到直线x-y-}=0的最短距离，并求出此时P的坐标。解：如图所示将直线x-y
10、-1=0平移到与曲线y=F+2%相切的位置，显然切点就是到直线x-y-l=0距离最短的点，而切线与直线x-y-l=0平行，因此斜率相等，为Jl)=x=一—I2丿r所以切点坐标为匚1_3、k2"4,到直线x-y-l=O最短距令yz=2x+2=l,解得兀=—丄，代入曲线方程得1（3）［————1/离为2I4丿=〉近,此时戶的坐标I-1--
11、08I24丿参照例5的方法，还可以求一些的曲线到曲线的最短距离，两条曲线要关于某条直线对称。例6：已知P为函数歹=夕图像上的一点，Q为函数y=ln兀一2图像上的一点，求
12、PQ
13、的最小值。解：）,，=/图像与y=ln兀图像关于直
14、线x=y对称，若将y=x图像向下平
