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1、实验4利用MATLAB求解极点配置问题4.1实验设备同实验1。4.2实验目的1、学习极点配置状态反馈控制器的设计算法；2、通过编程、上机调试，掌握系统极点配置设计方法。4.3实验原理说明给定一个连续时间系统的状态空间模型：x&=Ax+Bu(4.1)其中：是系统的xn维状态向量，u是m维控制输入，A和B分别是适当维数的已知常数矩阵。在状态反馈u=−Kx(4.2)作用下，闭环系统的状态方程是x&=(A−BK)x(4.3)由线性时不变系统的稳定性分析可知，闭环系统（4.3）的稳定性由闭环系统矩阵A−BK的特征值决定，即闭环系统（4.3）渐近稳定
2、的充分必要条件是矩阵A−BK的所有特征值都具有负实部。而由经典控制理论知道，矩阵A−BK的特征值也将影响诸如衰减速度、振荡、超调等过渡过程特性。因此，若能找到一个适当的矩阵K，使得矩阵A−BK的特征值位于复平面上预先给定的特定位置，则以矩阵K为增益矩阵的状态反馈控制器（4.2）就能保证闭环系统（4.3）是渐近稳定的，且具有所期望的动态响应特性。这种通过寻找适当的状态反馈增益矩阵K，使得闭环系统极点（即矩阵A−BK的特征值）位于预先给定位置的状态反馈控制器设计问题称为是状态反馈极点配置问题，简称为极点配置问题。对给定的线性定常系统（4.1）
3、和一组给定的期望闭环极点Ω={λ,λ,L,λ}，按以12n下步骤可以设计出使得闭环系统（4.3）具有给定极点Ω={λ,λ,L,λ}的状态反馈控制12n器（4.2）。第1步：检验系统的能控性。如果系统是能控的，则继续第2步。第2步：利用系统矩阵A的特征多项式nn−1det(λI−A)=λ+aλ+L+aλ+an−110确定a,a,L,a的值。01n−1第3步：确定将系统状态方程变换为能控标准形的变换矩阵T。若给定的状态方程已是能控标准形，那么T=I。非奇异线性变换矩阵T可由下式确定：~~−1T=Γ[A,B](Γ[A,B])cc第4步：利用给定
4、的期望闭环极点，可得期望的闭环特征多项式为nn−1（λ−λ（)λ−λ)L（λ−λ)=λ+bλ+L+bλ+b12nn−110并确定b,b,L,b的值。01n−1第5步：确定极点配置状态反馈增益矩阵K：K=[]b−ab−aLb−ab−aT0011n−2n−2n−1n−112也可以通过待定系数的方法来确定极点配置状态反馈增益矩阵K。根据det[λI−(A−BK)]=(λ−λ)(λ−λ)L(λ−λ)12n利用两个多项式相等的充分必要条件是等号两边λ同次幂的系数相等，导出关于K的分量k,L,k的一个线性方程组，求解该线性方程组可得要求的增益矩阵K。
5、1nMATLAB软件提供了两个函数acker和place来确定极点配置状态反馈控制器的增益矩阵K。函数acker是基于求解极点配置问题的爱克曼公式，它只能应用到单输入系统，要配置的闭环极点中可以包括多重极点。函数acker和place的一般形式是：K=acker(A,B,J)K=place(A,B,J)其中的J是一个向量，J=[λλLλ]，λ,λ,L,λ是个期望的闭环极点。得到了n12n12n所要求的反馈增益矩阵后，可以用命令eig(A-B*K)来检验闭环极点。4.4实验步骤1、极点配置状态反馈控制器的设计，采用MATLAB的m-文件编程
6、；2、在MATLAB界面下调试程序，并检查是否运行正确。例4.1考虑以下系统x&=Ax+Bu其中：⎡010⎤⎡0⎤⎢⎥⎢⎥A=001,B=0⎢⎥⎢⎥⎢⎣−1−5−6⎥⎦⎢⎣1⎥⎦试设计一个状态反馈控制器u=−Kx，使得闭环系统的极点是λ=−2+,4jλ=−2−4j，12Tλ=−10。进而，对给定的初始状态x)0(=1[0]0，画出闭环系统的状态响应曲线。3执行以下应用函数acker编制的M-文件：A=[010;001;-1-5-6];B=[0;0;1];J=[-2+j*4–2-j*4-10];K=acker(A,B,J)得到K=19955
7、8若执行以下应用函数place编制的M-文件：A=[010;001;-1-5-6];B=[0;0;1];J=[-2+j*4–2-j*4-10];13K=place(A,B,J)则可得place:ndigits=15K=199.000055.00008.0000进一步，对给定的初始状态x)0(，可以应用MATLAB提供的函数initial画出闭环系统的状态响应曲线。T已知x)0(=1[0]0，执行以下的M-文件：A=[010;001;-1-5-6];B=[0;0;1];J=[-2+j*4–2-j*4-10];K=place(A,B,J);s
8、ys=ss(A-B*K,[0;0;0],eye(3),0);t=0:0.01:4;x=initial(sys,[1;0;0],t);x1=[100]*x’;x2=[010]*x’;x3=[00
