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1、第15讲:极点与极线的性质125第15讲:极点与极线的性质极点与极线是高等几何中的基本且重要的概念,虽然中学数学没有介绍,但以此为背景命制的高考试题经常出现.掌握极点与极线的初步知识,可使我们“登高望远”,抓住问题的本质,确定解题方向,寻找简捷的解题途.定义:已知曲线G:ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0,则称点P(x0,y0)和直线l:ax0x+b+cy0y+d+e+f=0是曲线G的一对极点与极线,点P称为直线l关于曲线G的极点;直线l称为点P关于曲线G的极线.称点P与直线l有“配极关系”,或“对偶关系”,相互为对
2、方的“配极元素”,或“对偶元素”.特别地,当点P在曲线G上时,点P关于曲线G的极线是曲线G在点P处的切线;圆锥曲线的焦点对应的极线是该焦点对应的准线;圆锥曲线的准线对应的极点是该准线对应的焦点.[位置关系]:已知点P关于圆锥曲线G的极线是直线l,则三者的位置关系是:①若点P在曲线G上,则直线l是曲线G在点P处的切线;②若点P在曲线G外,则直线l是由点P向曲线G引两条切线的切点弦;③若点P在曲线G内,则直线l是经过点P的曲线G的弦的两端点处的切线交点轨迹.如图:lllPMPADMPNCNB[配极原则]:如果点P的极线通过点Q,
3、则点Q的极线也通过点P.证明:设圆锥曲线G:ax2+bxy+cy2+2dx+2ey+f=0,点P(xp,yp),Q(xQ,yQ),则点P、Q关于曲线G的极线方程分别为p:axpx+b+cypy+d+e+f=0,q:axQx+b+cyQy+d+e+f=0,则点P的极线通过点QaxpxQ+b+cypyQ+d+e+f=0点P(xp,yp)在直线q:axQx+b+cyQy+d+e+f=0上点Q的极线也通过点P.推论1:两点连线的极点是此二点极线的交点,两直线交点的极线是此二直线极点的连线;证明:设两点A、B连线的极点是P,即点P的极
4、线经过点A、B,由配极原则知点A、B的极线均过点P,即点P是此二点极线的交点;同理可证:两直线交点的极线是此二直线极点的连线.推论2(共点共线):共线点的极线必共点;共点线的极点必共线.证明:设点A、B均在直线l上,直线l对应的极点为P,由配极原则知点A、B的极线均过点P,即点A、B的极线必共点;同理可证:共点线的极点必共线.推论3(中点性质):若圆锥曲线G过点P的弦AB平行于点P的极线,则点P是弦AB的中点.证明:设P(x0,y0),曲线G:ax2+bxy+cy2+2dx+2ey+f=0,则点P的极线方程:ax0x+b+c
5、y0y+d+e+f=0,故可设AB:ax0x+b+cy0y+d+e+λ=0,由点P(x0,y0)在直线AB上ax02+bx0y0+cy02+2dx0+2ey0+λ=0λ=-(ax02+bx0y0+cy02+2dx0+2ey0)直线AB:ax0x+b+cy0y+d+e=ax02+bx0y0+cy02+2dx0+2ey0ax0x+b+cy0y+d+e+f=ax02+bx0y0+cy02+2dx0+2ey0+f,而该直线为以为P中点的中点弦方程,即点P是弦AB的中点.[比例定理]:若过点P(x0,y0)的直线l与曲线G:ax2+b
6、xy+cy2+dx+ey+f=0相交于A、B两点,与直线:ax0x+b+126第15讲:极点与极线的性质cy0y+d+e+f=0交于点Q,则
7、PA
8、
9、QB
10、=
11、QA
12、
13、PB
14、.证明:设直线l:(t为参数),代入ax0x+b+cy0y+d+e+f=0得:(2ax0cosθ+bx0sinθ+by0cosθ+2cy0sinθ)t+2(ax02+bx0y0+cy02+dx0+ey0+f)=0t0=-2;代入ax2+bxy+cy2+2dx+2ey+f=0得:(acos2θ+bcosθsinθ+csin2θ)t2+(2ax0cosθ+b
15、x0sinθ+by0cosθ+2cy0sinθ)t+(ax02+bx0y0+cy02+dx0+ey0+f)=0t1+t2=-,t1t2=t0=;而
16、PA
17、
18、QB
19、=
20、QA
21、
22、PB
23、
24、t1
25、
26、t2-t0
27、=
28、t1-t0
29、
30、t2
31、t0=成立.[面积定理]:已知点P关于圆锥曲线G的极线为l,过点P的直线与圆锥曲线G相交于A、B两点,分别过点A、B的两条平行线与直线l交于点D、C,记△APD、△CPD、△BPC的面积分别为S1,S2,S3,则:S22=4S1S2.证明:以椭圆G:+=1(a>b>0)为例,设P(x0,y0),则极线l
32、:.设A(x1,y1),B(x2,y2),并分别过点A、B作l的垂线,垂足分别为D1、C1,则==(注意到:a2b2=b2x12+a2y12,a2b2=b2x22+a2y2)==(注意到:==k)=.又因=,以下只需证=1,即
33、a2ky1+b2x1
34、=
35、a2ky2+b2x2
36、,由b2(x1
