圆锥曲线极点与极线的一组性质

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1、万方数据22中学数学教学2010年第4期圆锥曲线极点与极线的一组性质湖北省阳新县高级中学邹生书(邮编：435200)l圆锥曲线极点和极线的定义已知阋锥曲线C：触2+回2+2Dx+2Ey+F—O(A2+C2≠0)，则称点P(x。，y。)和直线l：Axo丁+国oY+D(z+T。)+E(y+yo)+F一0是圆锥曲线(?的一对极点和极线．2圆锥曲线的极点和极线的几何意义定理l已知点P和A线￡是圆锥曲线C的一对极点和极线．(1)若极点P在曲线C上，则极线，就是曲线C在点P处的切线；(2)若过极点P可作曲线C的两条切线，M、N为切点，则极线z就是直线MN；(3)若过极点P的直线与

2、曲线C相交于M、N两点，则曲线C在M、N两点处的两条切线的交点Q在极线z上．(4)若过极线Z上一点Q町作C的两条切线，M、N为切点，则直线MN必过极点P．证明设极点为P(x。，y。)，则极线Z：Ax。童+国oy+D(x+zo)+E(y+yo)+F一0．(1)根据隐函数求导法则，方程Ax2+Cy2+2Dx+2E'+F=0两边对z求导得，触+Cyy’+D+毋7一o，所以，Y7一一群，所以k=一万Az—'oT+卞D，故圆锥曲线在点P处的切线方程为Lyo十B～yoA万x—o_-卜i)(z—zo)，注意到点PYyo在曲线～万■而oz—zo，，扯恳到恩位吲甄上，所以有触3+回：+

3、2Dx。+2Ey。+F一0，代入切线方程，化简得切线方程为触。z+Cy。Y十D(x+z。)+E(y+Y。)+F=0，极线l就是曲线C在点P处的切线；(2)设M(xl，Y】)、N(x2，Y2)，由(1)得曲线在点M处的切线方程为Ax，z+o，Y+D(T+∞)+E(y+y。)+F=0，又此切线过点P，所以Axoz。+ooY·+D(x。+勘)+E(yI+yo)+F一0，同理得触。娩+(汐。Y2+D(x2+勘)+E(y2+yo)+F=0，故过直线MN的方程为Ar。z+9。Y+D(x+xo)+E(y+3,0)+F一0，故极线z就是直线MN；b沿b>)^净>≯》7，7潞b>，^>

4、=斗≯}>，，7西≯卜)7扫，，静b’7，，-07毋07，7，，，，070，，，》7，，》7西，，，，，7滂，≯》70，o，》7由③、⑤知T_去丌+T_高玎=T_缶．(2)如图2，由于尸在椭圆内，因此PA、PB的方向相反，即￡1t2<0，又PAI

5、QAl，PBI—fQPI+lQBl，代人定理(1)中的式子整理即得要汪的式子．同理可证(2)中的式子成立．，一2推论2设P(xo，弘)是圆锥曲线r(椭圆≥+矿22=1(口>6>o)、双曲线手一y_61。5l(口>o，b>o)、抛物线Y2=2px(p>o))的一个极点，它对应的极线为L．(1)若r为椭圆或双曲线，OP(o为中心)或OP的延长线交r于R，交L于点Q，则0P

6、．I∞}=}OR2；(2)若r为抛物线，Z是r在顶点。处的切线(即y轴)，过点P作z的垂线，交L于Q，交工1于R，则l脓I—IQRf．证明较易，从略．参考文献l陈先捷．圆锥曲线的一个性质[J]．数学通报

7、，1999(6)．(收稿日期：2010-06—10)万方数据2010年第4期中学数学教学23(3)设Q(研，行)，由(2)得直线MN的方程为AnLT+Cny+D(z+研)+E(Y+靠)+F一0，又直线MN过点P，所以有Amx。+Cny。+D(z。+m)+E(y。+行)+F=0，故曲线C在M、N两点处的两条切线的交点Q在极线Z上．(4)设点Q(zl，Y。)，由(2)知直线MN的方程为ArlT+CylY+D(x+T1)+E(Y+Y1)+F一0，又点Q(zl，Y。)在直线Z上，所以触。z。+CyoyI+D(xl+zo)+E(yl+yo)+F=0，由以上两式知点Q(z，，y。

8、)在直线MN上，即直线MN必过极点P．例l已知圆z2+y2=1和圆外一点P(2，3)，过点P作圆的两条切线，M、N为切点，则直线MN的方程为．简解由定理(3)知直线MN就是点P所对应的极线，其方程为2z+3y一1—0．例2已知抛物线Y2=4x和直线Z：z一一1，过直线z上任一点作抛物线的两条切线，M、N为切点，则直线MN恒过定点．简解因抛物线的准线Z：z一一1和焦点F(1，0)恰好是一对极点和极线，由定理(4)知：直线MN恒过焦点F(1，0)．3探究有心曲线极点和极线的性质～2一．2特别地，若曲线c为椭圆与+百Y一1(口>bn，7>O)，若极点为焦点