漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法

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1、维普资讯http://www.cqvip.com●2006年第6期中学数学教学15漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法浙江省绍兴县鲁迅中学王兴华(邮编：312008)本文源于两道高考压轴题：1．2标准方程下圆锥曲线极点与相应极线的方题l(2006年全国Ⅱ卷题21)、程与性质已知抛物线4y的焦点为下面以命题的形式给出圆锥曲线中极点与极线两F。A、B是抛物线上的两动点，且个结沧：、f)A-#一麻(>o)．过A、B两点分P命题1椭圆+百y=1，则点P(m，．Y)对应的n。扫一别作抛物线的切线．设其交点为P．(

2、】)证明．商为定值；极线方程为：+=l；(2)没△ABP的面积为S。写出S=：l，‘()的表达双曲线一一1，则点P(∞，y．)对应的极线方式，井求S的最小值．题2(2005年江西卷题22)程为：～=1；没抛物线(’：Y=-丁的焦点为A．F，动点P在直线l：—2—0上抛物线=2py．则点尸(丑，，Y)对应的极线方程运动．过P作(’的两条切线PA、为：_11T—P(y+y【_)=o；PB。且与抛物线c分别相切于A、B若抛物线y=2px，则点P(。)对应的极线方两点．程为：Y()Y一声(-t-_丁I))=0．(1)求△APB的

3、重心G的轨迹方程．命题2圆锥曲线中极线共点于，]．则这些极线相(2)征明PFAPFB．应的极点共线于点P相应的极线．反之亦然．称为极点这是一类解析几何常见题，两题非常类似．笔者还与相应极线对偶性．发现它们含有相同的高等数学背景．按射影几何观点，如题l图，AB绕焦点F转动．则AB相应的极点P题中点P与直线AB称为圆锥曲线相应的极点卜j极线，共点于点F的极线．两者蕴涵¨r圆锥曲线的内在特征．本文拟以极点与极上述证明可参考有关《高等几何》书，此处不再展线的两个命题给出试题统一解法，并讨沦该性质在中开．学数学中的现状及应用．虽然

4、中学数学中没有提到极点与极线，但事实j-，1关于极点与极线它的身影随处可见．只是没有点破而已．下面利用上述两个命题，给出州考题统一简解以1．1极点与极线的定义与作图及该命题在教材、竞赛等方面的应用．如图，P为不在圆锥曲线2中学数学中极点与极线知识的现状与应用上的点，过点P引两条割线依2．1教材内改名换姓．“视”而不”见”次交圆锥曲线于四点E、F、(、H，连接EH、阳交于N，连接事实上。由命题l知，若取点P为焦点，点P相应的肼、FH交于M，则MN为点P极线恰为圆锥曲线的准线．如：椭圆+一1巾点“。对应的极线．若P为圆锥曲线

5、P(，0)对应的极线方程为．1r=a-．焦点与准线是圆锥上的点．过点P的切线即为极线．由上作图可知，同理PM为点N对应的极线，PN曲线一章中的核心内容，它揭示了圆锥曲线的统一定为点M对应的极线，MNP称为自极三：点形．若连接义，更是高考的必考知识点．正是因为它太常见了．反MN交圆锥曲线于A、B点，则PA、PB恰为圆锥曲线的而往往使我们“视”而不“见”．‘两条切线．事实上．这也给出r两切线交点P对应的极例1(人牧版第二册上第1l9页)线的又一作法．如题1、2图．过抛物线Y!一2pz的焦点的一条直线和此抛物线维普资讯http

6、://www.cqvip.com16中学数学教学2006年第6期相交，两个交点的纵坐标为t、，求J标为(1，)，P为直线￡上动点，则点P对应的极线证YlY2～．L0作为课本一习题，2001年全国卷．AB必过(寺一)点·19题以此题为背景命题，利用此结论C可迅速证明该题．设AS的方程：一2一k(x一1)，逆用命题l，得(2001年全国卷理科l9题)设抛物线=AB对应的极点P可设为(寺，寺一)．把AB代入c：2px(户>0)的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于Y得；i十2一k，Yl十k一七十4．z~APB的A、B两点，点C在

7、抛物线的准线上，且BC平行轴，证明直线AC过原点．f一寺，下面利用命题1、2给出例1的证明：萤的k~-k+卿得2一分析设点F(号，。)，A(券)·B(券啪)，一，由命题1知轨迹方程：一÷(42～十2)．三点对应的极线方程分别是：z；一要，YlY一(2)由(1)可设点P(k，k～)，A(，丑)，。(十券)o(：1，2)，由A、F、B三点共线及命题2B(，)．，且还有。十=七，一妻一2，得知，相应的三极线共点，把一一要代入，即得_y】Y苘一(2一{)，一(㈣一T1)，=一．评析此结论曾被广泛探讨应用，我们用命题1、砖一(，z

8、2一÷)．2证明了例1，事实上也给出了19题的一种新的证法．所s2．高考中琵琶遮面，忽隐忽现、作为极点与极线的特例，焦点与准线是圆锥曲线专·十(恐一百1)(一÷)十1一章中的核心内容，也一直是高考的热点，如前述的题1、题2．下面我们利用命题给出两试题新的统一筒解：丽一雨’题1(1)分析设点P(x。，。)，A(xl，Y