漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法.pdf

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1、2006年第6期中学数学教学15漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法浙江省绍兴县鲁迅中学王兴华(邮编：312008)本文源于两道高考压轴题：1．2标准方程下圆锥曲线极点与相应极线的方题l(2006年全国Ⅱ卷题21)程与性质已知抛物线z2—4y的焦点为沁r羽B下面以命题的形式给出圆锥曲线中极点与极线两F，A、B是抛物线上的两动点，且个结论：、亦=A商(A>o)．过A、B两点分0V≥P命题1椭圆与+告=1，则点P(T。，y。，)对应的n。D。别作抛物线的切线，设其交点为P．(1)证明茚．商为定值；极线方程为：掣+掣一l；(2)设△ABP的面积为S，写出S=，’(A)的表达式，并求

2、S的最小值．双曲线写一菩=1，则点P(z。，y。)对应的极线方Ⅱ。D‘题2(2005年江西卷题22)j程为：等一掣一1；设抛物线C：y—z2的焦点为F，动点P在直线z：z—y一2=o上A≮矽。抛物线z2—2缈，则点P(．r。，弘)对应的极线方程运动，过P作c的两条切线PA、＼．为：T()丁一户(y+yf))=o；PB，且与抛物线c分别相切于A、B／黑

3、

4、I若抛物线y2=2弦，则点P(勘，弘)对应的极线方两点．程为：_)I。y一≯(z+To)=O．(1)求△APB的重心G的轨迹方程．命题2圆锥曲线中极线共点于P，则这些极线相、(2)证明么PFA一么PFB．应的极点共线于点P相应的极线．反之亦然．

5、称为极点这是一类解析几何常见题，两题非常类似，笔者还与相应极线对偶性．发现它们含有相同的高等数学背景．按射影几何观点，如题1图，AB绕焦点F转动，则AB相应的极点P题中点P与直线AB称为圆锥曲线相应的极点与极线，共点于点F的极线．两者蕴涵了圆锥曲线的内在特征．本文拟以极点与极上述证明可参考有关《高等几何》书，此处不再展线的两个命题给出试题统一解法，并讨论该性质在中开．学数学／中的现状及应用．虽然中学数学中没有提到极点与极线，但事实上，它的身影随处可见．只是没有点破而已．1关于极点与极线下面利用上述两个命题，给出两考题统一简解以1．1极点与极线的定义与作图及该命题在教材、竞赛等方面的应用．如图，

6、P为不在圆锥曲线2中学数学中极点与极线知识的现状与应用上的点，过点P引两条割线依2．1教材内改名换姓，“视”而不“见”次交圆锥曲线于四点E、F、G、H，连接EH、硒交于N，连接事实上，由命题l知，若取点P为焦点，点P相应的昭、FH交于M．则MN为点P极线恰为圆锥曲线的准线．如：椭圆：；+等一1中点对应的极线．若P为圆锥曲线上的点，过点P的切线即为极线．P(f，o)对应的极线方程为：z一生．焦点与准线是圆锥由上作图可知，同理PM为点N对应的极线，PN曲线一章中的核心内容，它揭示了圆锥曲线的统一定为点M对应的极线，MNP称为自极三点形．若连接义，更是高考的必考知识点．正是因为它太常见了，反MN交圆

7、锥曲线于A、B点，则PA、PB恰为圆锥曲线的而往往使我们“视”而不“见”．两条切线．事实上，这也给出了两切线交点P对应的极例1(人教版第二册上第“9页)线的又一作法，如题1、2图．过抛物线扩一2弦的焦点的一条直线和此抛物线万方数据16中学数学教学2006年第6期相交，两个交点的纵坐标为y，、yz，求标为(丢，2)，P为直线z上动点，则点P对应的极线证yly2一一户2．j．n0作为课本一习题，2001年全国卷AB必过(专，2)点．．／——19题以此题为背景命题，利用此结论C疑一可迅速证明该题．设AB的方程：∥一2一女(丁一÷)，逆用命题l，得(2001年全国卷理科19题)设抛物线扩一AB对应的极

8、点P可设为(寺，睾一2)．把AB代入c：2如(户>o)的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且历平行z轴，证y—T2得：上l+z2一^，y1+y2=^2一^+4．△APB的明直线AC过原点．fz一睾，下面利用命题1、2给出例1的证明：消去6即得重心G的轨迹方程：{＆z一妻+2月。一●—r￡分析设点F(号，。)，A(券，y·)，B(券·yz)，Iy一——广’由命题l知：轨迹方程：y一÷(422一z+2)．三点对应的极线方程分别是：z一一要，My一(2)由(1)可设点P(睾，睾一2)，A(n，z。2)，2(z+券)2o(i一1，2)，由A、F、B、三点共线及命题2B

9、(zz，丁z2)，且还有z-+zz一女，z，zz=睾一2，得知。相应的三极线共点，把z一一要代入，即得y。y：苘一(m砰一{)，茚一(半㈣zz一{)，一一户2．评析此结论曾被广泛探讨应用，我们用命题1、商一(m∥一÷)．2证明了例1，事实上也给出了19题的一种新的证法．2．2高考中琵琶遮面，忽隐忽现所№s么夕P亍褊作为极点与极线的特例，焦点与准线是圆锥曲线睾·∞+(z，如一{)(群一{)z-zz+