圆锥曲线关于极点极线的一个统一结论

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1、万方数据2010年第4期中学数学教学21圆锥曲线关于极点极线的一个统一结论上海市杨浦区彰武路同济新村224号甲姜坤崇(邮编：200092)●我们知道，对于圆锥曲线11(椭圆弓+百y-一、Ⅱ口一221(口>b>o)、双曲线每～告=1(口>0，b>o)、ao抛物线Y2—2加(户>o))，焦点和准线是圆锥曲线中两个重要的概念，许多问题都与它们有关．将焦点、准线的概念进行推广，就得到极点、极线的概念．若极点P(x。，Y。)(对于椭圆，P不在中心o；对于双曲线，P不在渐近线上(包括中心o)，以下同)对应的极线为L，则当r为椭圆时，L的方程为等+掣=1；当11为

2、双曲线时，L的方程a口为等一掣=1；r为抛物线时，L的方程为yoy“c，一p(x。+z)．极线与极点的关系(由极点求作极线)是：若P在r上，则L即为r在点P处的切线；若P在工1外(非焦点所在区域)，过P引11的两条切线，连结两切点的直线即为L；若P在J1内(焦点所在区域)，我们可以证明有下面的结论(证明从略)．(1)若P在椭圆r内，在OP的延长线取点Q，使JOPJ．JOQI—lOR2(R为oP延长线与r的交点)，过Q引r的两条切线，连结两切点的直线即为L．(2)若P在双曲线r内，在0P上取点Q，使OP1．1∞f—lOR2(R为oP与J1的交点)，过Q

3、引11的两条切线，连结两切点的直线即为L．(3)若P在抛物线J1内，过P作z(z为抛物线在顶点处的切线，即Y轴)的垂线z7，z7交r于点R，Q是Z7上P关于R的对称点，过Q引r的两条切线，连结两切点的直线即为J。．关于J1的极点与极线，有下面统一的结论．，一2定理设P(x。，y。)是圆锥曲线r(椭圆与、‘工2—2．2+y西-=1(n>b>o)、双曲线与一西Y=1(口>0，0Ⅱ0b>o)、抛物线夕=2px(户>o))的一个极点，它对应的极线为L，过P任意引一条直线，交r于点A、B，交L于点Q，若点A是位于P、Q间的点，则(1)当P在r外时，——L—一—

4、—L————L．PAI。IPBPQI’(2)当P在j1内时，!一!一—呈一PAPBPQl’以下仅给出r为椭圆情形时定理的证明，对于11为双曲线或抛物线的情形，证明可仿照进行．证明(1)设AB的参数方程为{z2而_卜抛?s口(口为直线的倾斜角，￡为参Iy—yo十tslna数)①代入r的方程整理得(b2COS2口十a2sin2口)t2+2(62zocoS口+a2Yosina)t+b225+a2Y3一a2b2—0②设以上关于t的二次方程的两根为t。、t：，则由参数方程中t的几何意义知t。=PA，t：一PB．由韦达定理，付铲一等笔COS警a尝sIn謦，D。。

5、口十。“口ff一6223+a2Y：一口2b2功功一1≮孬i瓦面‘如图1，由于P在椭圆外，因此PA、PB的方向相同，即tlt。>0，于是(南+南)21】2：=一"at--一—-一：=ti’t；。Itlt2，-吃椽、、＼、一代一二爿气图l吉+丢+老=(丢+丢)2一(害)2，．1t，+t2”丌『T1_丌1一一T耵=啭b嘉裂Y薪b③225+口2：一n22掣将方程①代入L的方程整理得(62zocos口+a2Yosina)t+bzz5十a2贸一n2b2—0④．2—2—2XoCO鳅+a2Yosina一丽一研一丁瓦茅矗琢=研⑤万方数据22中学数学教学2010年第4期

6、圆锥曲线极点与极线的一组性质湖北省阳新县高级中学邹生书(邮编：435200)l圆锥曲线极点和极线的定义已知阋锥曲线C：触2+回2+2Dx+2Ey+F—O(A2+C2≠0)，则称点P(x。，y。)和直线l：Axo丁+国oY+D(z+T。)+E(y+yo)+F一0是圆锥曲线(?的一对极点和极线．2圆锥曲线的极点和极线的几何意义定理l已知点P和A线￡是圆锥曲线C的一对极点和极线．(1)若极点P在曲线C上，则极线，就是曲线C在点P处的切线；(2)若过极点P可作曲线C的两条切线，M、N为切点，则极线z就是直线MN；(3)若过极点P的直线与曲线C相交于M、N两点

7、，则曲线C在M、N两点处的两条切线的交点Q在极线z上．(4)若过极线Z上一点Q町作C的两条切线，M、N为切点，则直线MN必过极点P．证明设极点为P(x。，y。)，则极线Z：Ax。童+国oy+D(x+zo)+E(y+yo)+F一0．(1)根据隐函数求导法则，方程Ax2+Cy2+2Dx+2E'+F=0两边对z求导得，触+Cyy’+D+毋7一o，所以，Y7一一群，所以k=一万Az—'oT+卞D，故圆锥曲线在点P处的切线方程为Lyo十B～yoA万x—o_-卜i)(z—zo)，注意到点PYyo在曲线～万■而oz—zo，，扯恳到恩位吲甄上，所以有触3+回：+2D

8、x。+2Ey。+F一0，代入切线方程，化简得切线方程为触。z+Cy。Y十D(x+z。)+E(y+Y。)+F=