极点极线讲稿邓峰.doc

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1、一、极点与极线的定义定义1（代数定义）已知圆锥曲线,则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点的极线方程.特别地：（1）对于椭圆，与点对应的极线方程为；（2）对于双曲线，与点对应的极线方程为；（3）对于抛物线，与点对应的极线方程为.定义2（几何定义）如图1，是不在圆锥曲线上的点，过点引两条割线依次交圆锥曲线于四点连接交于点，连接交于点，则直线为点对应的极线.若为圆锥曲线上的点，则过点的切线即为极线.由图1可知，同理为点对应的极线，为点所对应的极线.称为自极三点形.若连接交圆锥曲线于点则恰为圆锥曲线的两条切线.二、极点与极线

2、的基本性质、定理定理1（1）当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线；（2）当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；（3）当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹.5定理2（配极原则）（1）点关于圆锥曲线的极线经过点点关于的极线经过点;（2）直线关于的极点在直线上直线关于的极点在直线上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线.特别地：圆锥曲线的焦点与其相应的准线是该圆锥曲线的一对极点与极线.（1）对于椭圆而言，右焦点对应的极线为，即，恰为椭圆的右准线.对于椭圆而言，点对应的极线方程为;（2）对于双曲线而言，点对应的极线方程为；

3、（3）对于抛物线而言，点对应的极线方程为.定理3下面再给出与圆锥曲线的极点和极线有关的性质.性质1如图，已知点是椭圆上任一点，极点，相应的极线.椭圆在点处的切线与极线交于点，过点作直线的垂线，垂足为，则直线恒过轴上的一个定点，且点的轨迹是以为直径的圆（点除外）.性质2如图，已知点是双曲线上任一点，极点，相应的极线.双曲线在点处的切线与极线交于点，过点作直线的垂线，垂足为，则直线恒过轴上的一个定点，且点的轨迹是以为直径的圆（点除外）.5性质3如图，已知点是抛物线上任一点，极点，相应的极线为.抛物线在点处的切线与极线交于点，过点作直线的垂线，垂足为，则直线恒过轴上的一个定点，且点的轨迹是以为直径

4、的圆（点除外）.定理4如图，设圆锥曲线的一个焦点为，与相应的准线为.（1）若过点的直线与圆锥曲线相交于两点，则在两点处的切线的交点在准线上，且;（2）若过准线上一点作圆锥曲线的两条切线，切点分别为，则直线过焦点，且；（3）若过焦点的直线与圆锥曲线相交于两点，过作交准线于，则连线是圆锥曲线的两条切线.定理5设椭圆的一个焦点为，相应的准线为，过焦点的直线交椭圆于两点，是椭圆上任意一点.直线交准线于两点，则以为直径的圆必过.三、历年高考题【例1】（2011年四川高考理数21题第（2）问）如图，椭圆有两顶点、，过其焦点的直线与椭圆交于两点，并与轴交于点.直线与直线交于点.当点异于两点时，求证：为定值

5、.【例2】（2010年高考全国卷I理数21题第（1）问）已知抛物线的焦点为，过点的直线与相交于两点，点5关于轴的对称点为.证明：点在直线上.【例3】（2010江苏卷文理18）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左右顶点为，右焦点为.设过点的直线与此椭圆分别交于点，其中.设，求证直线必过轴上一定点（其坐标与无关）.【例4】（2012年北京卷19）已知曲线（1）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围.（2）设，曲线与轴交点为（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点，直线与直线交于点.求证：三点共线.【例5】（2012年福建卷理19）如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于两点

6、，且的周长为8.（1）求椭圆的方程.（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点.试探究：在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【例6】（2006年全国卷Ⅱ理21）已知抛物线的焦点为，是抛物线上的两动点，且，过两点分别作抛物线的切线，并设其交点为.（1）证明为定值；（2）设的面积为，写出的表达式，并求的最小值.【例7】（2014年江西卷理20）如图，已知双曲线的右焦点为，点分别在的两条渐近线上，轴，∥.5（1）求双曲线的方程；（2）过上一点的直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明点在上移动时，恒为定值，并求此定值.【例8】（

7、2013年江西卷理20）椭圆的离心率，.（1）求椭圆的方程；（2）如图所示，是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意一点，直线交轴于点，直线交于点，设的斜率为，的斜率为，证明：为定值.【例9】（2009年福建）如图，已知椭圆的离心率为长轴的左右端点分别为.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于两点，直线与交于点.试问当变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由