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1、第2章拉格朗日方程一、约束及其分类1).理想约束和非理想约束:系统中所有约束力的虚功的代数和为零的约束是理想约束,否则称为非理想约束。2).完整约束与非完整约束:约束方程仅是坐标和时间的函数的约束是完整约束;约束方程不仅和坐标与时间,还和速度有关,则是非完整约束3).定常约束和非定常约束:约束方程中不显含时间的是定常约束,反之为非定常约束二、达朗贝尔方程和拉格朗日方程1).达朗贝尔(d’Alembert)方程:如果系统所受到的约束是理想的,则有:这是理想约束体系动力学的普遍方程。2).拉格朗日(Lagrange)方程:相比牛顿力
2、学,拉格朗日动力学方程取较简洁的形式,并且拉格朗日方程是从能量角度来写的动力学方程,有其普遍意义。2.3用达朗贝尔方程写出习题1.24的运动微分方程解:取m位矢OM与OO’连线夹角为θ,取极坐标系则代入达朗贝尔方程:,并化简得系数为零2.6用拉格朗日程写出习题1.20的运动微分方程解:如图,取底面圆心处为坐标原点,建立柱坐标系,质点到轴距为R有几何关系代入完整保守体系的拉格朗日程,并化简得:代入完整保守体系的拉格朗日方程,并化简得2.7用拉格朗日方程写出习题1.21的运动微分方程解:建立柱坐标系,取R,为广义坐标由几何关系:2.
3、8用拉格朗日方程写出习题1.24的运动微分方程解:以θ为广义坐标,取极坐标系代入完整保守体系的拉格朗日方程,并化简得则2.9用拉格朗日方程写出习题1.27的运动微分方程解:体系为自由度为2的完整约束体系,取x,y为广义坐标代入完整保守体系的拉格朗日方程,并化简得2.11光滑刚性抛物线R2=2pz以恒定角速度ω绕铅直轴z旋转,其上套有质量为m的小环.(1)试求小环的拉格朗日函数及运动方程;(2)小环可稳定某处时,ω=?解:建立柱坐标系,R为广义坐标,代入完整保守体系的拉格朗日方程,则化简得到,当小环稳定时,R为定值,即有代入上式,
4、可得即2.12质量为m的质点约束在光滑的旋转抛物面x2+y2=az的内壁运动,z轴为铅直轴。写出(1)质点的运动方程,(2)质点做圆周运动所满足的条件。解:体系自由度为2的完整约束体系,选用柱坐标系,R,θ为广义坐标代入完整保守体系的拉格朗日方程,并化简得将约束条件x2+y2=R2=az,代入得若质点做圆周运动,有可得即当t=0时,有v=v0,z=h,得由杆AC,DG力矩平衡:2.13图中所示是一台磅秤的简化机构.试证明:若,则在平衡条件下,秤锤的重量P与重物P’在秤台的位置无关,且若有,则有:证明:由受力平衡,B处受力为(P’
5、-F1’)又有F1=F1’,F2=F2’即秤锤的重量P与重物P’在秤台的位置无关,且体系为完整保守平衡系统:2.15一水平的固定光滑钉子M与光滑铅直墙面的距离为d,一长为l的均匀棒AB搁在钉子上,下端靠在墙上,求平衡时棒与墙的夹角解:以M点为原点建立直角坐标系,有即1)2)由图由虚功为零即任意,则2.18质量为m1和m2的两个质点用一固有长度为l,重量可忽略的弹簧连接,放置在半径R的光滑球壳内,求平衡时两质点的位置。解:m1o和m2o分别和铅垂线的夹角为,原点为o化简得体系为完整保守平衡系统:令2.23质量为m,电荷为q的粒子在
6、轴对称电场和均匀磁场中运动。写出粒子的拉格朗日函数和运动微分方程。解:由题中,代入:在柱坐标系中,有:化简得:wfeizzu.eduwfeigs.zzu.edu
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