理论力学答案课件.ppt

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1、也可以表示成x的函数？对x求导：[例1.7]质量为m的质点在保守力作用下作直线运动，求:(i)质点的稳定平衡位置；(ii)质点在稳定平衡位置附近作微小振动的周期；(iii)质点从稳定平衡位置以速度v出发，求在下列情况下速度的数值范围：(1)质点在平衡位置附近振动；(2)质点逃逸至－∞；(3)质点逃逸至+∞。解:(i)x=-a为稳定平衡位置x=a为非稳定平衡位置在平衡位置处应有：(ii)质点在稳定平衡位置附近作微小振动的周期(iii)质点从稳定平衡位置以速度v出发，求速度v的数值范围[1.5解]轨道方程（

2、2.6）（2.7）——将上述微分方程消去时间t，得到r(θ)***推到比内公式（2.9）（2.6）（2.10）——二阶非线性微分方程比内（Binet）公式（2.11b）（2.15）适当选择极轴方向，使θ0=0——典型的圆锥曲线极坐标方程力心（坐标原点）：圆锥曲线的焦点Fe：轨道的偏/离心率p：正焦弦（QQ'）长度的一半距离平方反比引力作用下的质点运动例2.3质量为m的质点在的有心力场中运动，求：(i)圆轨道运动的周期；(ii)质点作半径为r0的圆周运动时的角动量；(iii)对r=r0的圆轨道，质点在径向

3、有一微小偏离，求质点在r=r0附近作微小振动的周期T'。解：(i)(ii)(iii)作泰勒展开(3)(4)0(5)忽略二次方项(6)(4)评注：微振动周期还可以从能量方程出发计算质点的机械能守恒方程：(7)对时间求导：?先作泰勒展开再求导0微振动→将U(r)在r=r0附近展开：(8)(8)式对时间求导：与(6)一致?(4)已由dE/dt=0得[2.8解]代入得：例3.4一质点置于光滑的水平桌面上，初速度为v0。设桌面位于北纬λ处，考虑地球的自转效应，证明质点的运动轨迹是一个圆，并求出圆半径和桌面所受到的

4、力。解：以桌面为参考系——旋转的非惯性系采用自然坐标系(ρ,θ)，则只需首先证明ρ是常量(3.23)科氏惯性力惯性离心力已包括在重力之内(3)(4)(5)更正：+初始条件：(6)(3)→→(4)：-(7)从而证明了质点的轨迹是一个圆由于ω很小，半径ρ很大，在桌面范围内质点实际上沿直线运动。(5)→？又：已知质点作圆周运动，若以圆心为坐标原点，位置矢径与x轴间的夹角为θ，则：桌面受到的力为：FN更正(8)第一项比重力小得多！[评注]①本题用自然坐标系最恰当。但要写出地球自转角速度在自然坐标系中的表示式，则

5、需要利用其它坐标系中的表示式来转换。要注意这种转换方法的运用。②质点作圆周运动的另一种证明方法：③用直角坐标系求解：∴质点作匀速率圆周运动(10)P82(3.25)(10)类似地，(10-1)→→(10-2)→——圆心在半径为的圆匀速圆周运动(10-3)→以圆心为坐标原点：代入得：与自然坐标法得到的结果一致比较：直角坐标系：可以直接写出质点运动的微分方程，但求解时数学上比较繁琐些。自然坐标系：数学上比较简洁，但角速度的表达式不能直接给出，需要通过直接坐标与自然坐标的关系转换一下。[3.7解]在O´系(平

6、动的非惯性系)中:其中：切向分量方程：即：微小振动：设解：则：由：得：代入(2)得：代入(3)得：[3.10解]以圆环为参考系(非惯性系)，小环受力如图所示(惯性力未标出):其中：切向方程：积分：滑动反向时：对应于初始位置[3.14解]在旋转的非惯性系中研究小环m的运动，如图所示:其中：代入得:而例4.3不可伸长的轻绳长2l，两端分别系有质量为m的质点，中部则系有一质量为m´的质点。这个由绳子联结的质点组置解：(i)任意时刻质点组内各质点的位置如图所示。于光滑的水平桌面上。初始时刻绳子拉直，m´以初速度

7、v0沿垂直于绳子的方向弹射。已知经过时间t后绳子两端的质点恰好相碰，求此时：(i)m´移动的距离b；(ii)绳中的张力FT。m相对于m´的速度：(1)质点组在xy平面内不受外力作用，动量守恒：y方向：(3)(2)(3)(ii)绳中的张力FT(3)式对t求导×m´：11碰撞时刻θ=π/2，代入得：(4)由机械能守恒求出水平面光滑；绳子无伸长，内力不作功。因此机械能守恒：(6)(1)(2)碰撞时刻θ=π/2：(5)(3)(4)[4.6解]如图所示，对大、小楔子组成的系统，水平方向不受外力，故系统质心不沿水平

8、方向移动；竖直方向由于受重力作用，质心下移。图中C点为起始时刻系统的质心位置。设任意时刻大、小楔子的质心位置分别为x1，x2，则：小楔子相对于大楔子的速度：小楔子完全滑到水平面时：[4.10解]系统水平方向动量守恒：水平面支持力不作功，系统机械能守恒：例5.6一匀质薄板质量为m，长2a宽a，可在铅直平面内绕悬点O无摩擦地摆动。求:(i)薄板在平衡位置附近作微小摆动的周期；(ii)等值摆长和振动中心的位置；(iii)设摆动的最大角度为φ0，求