理论力学作业答案

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1、第3章两体问题一、中心势场中单粒子的运动：中心力：粒子的轨道方程：体系能量守恒：角动量守恒：二、与距离r成反比的中心势场:(万有引力势和库仑静电势)：在万有引力作用下天体运动的轨迹问题也称为开普勒问题。此时α＝GM，质点的轨道方程可写为其中：在库仑排斥势场中粒子的轨道方程：近日点：，远日点周期：，椭圆面积：三、开普勒行星三定律：(1)行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳在椭圆的一个焦点上；(2)行星与太阳的联线扫过的面积与时间成正比，或者说相等时间内扫过的面积相等；(3)行星运动的周期的平方与它们的轨道半长轴的立方成正比。宇宙速度：(1).第一宇宙速度v1,

2、也称环绕速度，即环绕地球运动的最低发射速度(2).第二宇宙速度v2,也称逃逸速度，即脱离地球运动而绕太阳运动的最低发射速度(3).第三宇宙速度v3,即飞离太阳系的最低发射速度其中v0为地球绕太阳的公转速度，v’为msun为太阳的质量，rsun-earth为太阳-地球之间的距离。四、运动轨道的稳定性条件：比耐公式：由微小扰动：微小扰动满足方程：轨道的稳定性条件为：或：五、弹性碰撞和散射截面：如果两个粒子在碰撞前后其内部状态都不发生改变，则这种碰撞称为弹性碰撞或弹性散射机械能守恒动量守恒有：微分散射截面：立体角：3.1求质点在中心势场中运动的微分方程的解。

3、解：由公式，代入令：讨论：(1)当第3章两体问题选适当θ，使c=0,得(2)当选适当θ，使c=0,得(3)当选适当θ，使c=0,得第（2），（3）中情况会出现r＝0，即质点被力心所俘获当，t值有限3.2质量相同的两个质点，用一固有长度为l劲度系数为k，质量不计的弹性棒连接起来，用手握住其中一个质点，使另一个做水平圆周运动，其速度为V0，然后将手放开，讨论这两个质点以后的运动情况。解：放手前，体系质心做圆周运动，放手后质心在离心力作用下做抛体运动。仅考虑体系的相对运动，体系势能。两粒子相对运动可看成质量为折合质量mr的质点的运动，运动方程为：其中：轨道方

4、程为：3.3质点在一纬中心引力的作用下，以速度为0，x=-a处开始运动，试求该质点到达力心o的时间。解：设无穷远处为势能零点，则代入粒子在中心势的运动方程：3.4定性的讨论粒子在中心势中的运动，式中k和α为常数。解：当》1时，V≈0，此时近似做自由粒子的运动；当《1时，，粒子近似做在势场中的开普勒运动；当≈1时，，粒子近似做开普勒运动，但势场减弱为3.6求粒子在中心力的作用下的轨道方程。解：粒子的中心势场可写为代入令：，其中：3.8试求粒子在势场中运动且E=0(抛物线轨道)时，坐标对时间的依赖关系。解：粒子在中心势场中运动，代入运动方程：令，则若，则3

5、.11证明在椭圆轨道情况下，动能对时间的平均值等于势能对时间的平均值的一半(位力定理)。证明：在椭圆轨道情况下，。设，a，c分别是半长轴和焦距有：，周期可写为：，即势能：动能：证明2：令：经过一个周期：又：，在椭圆轨道3.13运动粒子m1和静止粒子m2碰撞后，试在实验室系中用粒子的偏转角来表示粒子碰撞后的速度，即用和来表示和解：设m1的初速度为可得：其中：代入上式得：3.22设一质量为m的质点在的中心力场中运动，试求其在稳定平衡位置r0附近做径向小振动的频率。解：由比耐公式，轨道微分方程为：其中设势场有一微小扰动，使粒子轨道代入上式，保留到ε的一级项，

6、得ε满足方程：得轨道稳定条件为：∴轨道稳定附近径向振动频率3.23在地球表面A处，一发射角θ＝60°和初速发射一卫星，其中R为地球半径(自转可略)。(1)试求发射瞬间卫星轨道的曲率半径ρ和切向加速度；(2)试求卫星离开地面的最大高度h及在此点的速率；(3)如果卫星在此最大高度突然分裂成相等的两半，其一半瞬时静止，试问另一半的轨道形状。解：卫星处于重力势场中，由重力F＝mg,卫星的轨道方程可写为：其中：轨道方程为：，当r=R时(1)受力分析得：(2)当时，有由机械能守恒有：即：(3)当一半瞬时静止，由动量守恒有，即轨道形状为抛物线(2)当时，有由机械能守

7、恒有：即：例1.质量为m的质点，在方向指向焦点的牛顿引力，的作用下运动，(1)如果质点沿一半长轴为a的椭圆轨道运动，试导出公式其中v为质点的速度，r为质点到力心的距离;(2)如果质点沿双曲线轨道运动，证明；(3)对抛物线轨道，证明例1.质量为m的质点，在方向指向焦点的牛顿引力，的作用下运动，(1)如果质点沿一半长轴为a的椭圆轨道运动，试导出公式其中v为质点的速度，r为质点到力心的距离;(2)如果质点沿双曲线轨道运动，证明；(3)对抛物线轨道，证明解:(1)椭圆轨道半长轴为在有心力场中，系统角动量守恒，即由(3)和(4)得，将(2)代入(5)得，(2)双

8、曲线轨道上面式(1),(3),(4),(5)均成立，但代入(5)得，(3)抛物线轨道式(1),