第二章-机械优化设计

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1、主讲:阮学云安徽理工大学第一节绪论1.1概念~是一种规格化的设计方法，它首先要求将设计问题按优化设计所规定的格式建立数学模型，选择合适的优化方法及计算机程序，然后再通过计算机的计算，自动获得最优设计方案。（三级减速器，V降低23%）1.2优化设计发展概况时间：60年代开始，在化工，建筑领域得到应用内容：机构优化设计，机械零部件设计，机械结构优化设计，机械系统设计。第二节优化设计的数学模型2.1例子。设计：一长度为6米的绳子如何围成一个最大面积的矩形，并求其S解：6=2（a+b)S=a*b法一：解析法将b=6/2-a代入下式，成为一元方程，可以求其最大值。法二：做

2、图法2.2优化设计的数学模型统一形式描述：minf(x)x=[x1,x2,………xn]Ts.tgi(x)≤0i=1,2,3…..mhj(x)=oj=1,2,…….p包括：1.设计变量2.目标函数3.约束问题2.3优化过程：优化设计的一般过程可以用如下的框图来表示:（2）按设计变量的性质分：连续变量、离散变量和带参变量。（3）按问题的物理结构分：优化控制问题和非优化控制问题。（4）按模型所包含方程式的特性分：线性规划、非线性规划、二次规划和几何规划等。（5）按变量的确定性性质分：确定性规划和随机规划。2.优化设计问题的迭代思路3.终止准则准则1-点距准则4.1往往

3、采用两个准则来判别4.2往往采用两个准则来判别第三节一维搜索0概念：对一维（也称一元或单变量）函数f(x)寻求其极值点x*就是一维优化方法中限制最优解问题，称一维搜索方法。3.1方法分类1.   分析方法（微分法）2.   数值迭代法(a).直接法，包括黄金分割法和对分法    (b).间接法，包括不需要求导数的二次插值法和需要求导数的三次插值法3.一维搜索的最优化方法-分析法例已知极小值在区间内，若从点出发，根据迭代公式：3.2进退法进退法也称外推法，是一种通过比较函数值大小来确定单峰区间的方法。任意给定初始点X1和步长h，算出f(x1)和x2=x1+h点的f

4、(x2)函数值。 3.3黄金分割法黄金分割法也称0.618法，是通过对黄金分割点函数值的计算和比较，将初始区间逐次进行缩小，直到满足给定的精度要求，即求得一维极小点的近似解x*。3.3.1区间缩小的基本思路   已知f(x)的单峰区间[a,b]。为了缩小区间，在[a,b]内按一定规则对称地取2个内部点x1和x2，并计算f(x1)和f(x2)。可能有三种情况：图(a)．经过一次函数比较，区间缩小一次。在新的区间内，保留一个好点x1和f(x1)，下一次只需再按一定规则，在新区间内找另一个与x1对称的点x3，计算f(x3)，与f(x1)比较。如此反复。图(b)．淘汰[

5、a,x1],得新区间[a,b],此时：a=x1，x1=x2,x2为x1对称点，b=b。图(c)．可归纳入上面任一种情况处理。3.3.2取点规则黄金分割法的均匀缩短率为0.618，即每经过一次函数值比较，都是淘汰本次区间的0.382倍。根据上式，黄金分割法的取点规则是3.3.3收敛准则由于实际问题的需要和函数形态的不同，常常需要不同的收敛准则确定最优点。对于直接法，有以下几种收敛准则：（1）．区间绝对精度（2）．区间相对精度（3）．函数值绝对精度；（4）．函数值相对精度3.3.5黄金分割法前提条件1）x1、x2在区间中的位置相对于边界来说是对称的2）在舍去一段后,

6、留在新区间的那个点仍处于新区间内两个计算点之一的位置；3）在缩小区间时,λ的值为一不变的常数。黄金分割法计算框图思考题：试用黄金分割法求近似极小点及极小值。已知[a,b]=[0,2]，ε=0.01（只要求进行2轮迭代，判断是否收敛）。3.4二次插值法3.4.1概念：是多项式逼近法的一种，利用目标函数在若干点的信息和函数值，构成一个与目标函数相接近的低次插值多项式，然后求该多项式的最优解作为原函数的近似最优解。随着区间的逐次缩小，多项式的最优点与原函数最优点之间的距离逐渐缩小，直到满足一定精度要求时终止迭代3.4.2构造设目标函数f(x)在三点x1

7、函数值分别为f(x1),f(x2),f(x3)，二次插值多项式为p(x)=a+bx+cx2。多项式在插值点的函数值应与目标函数的函数值相等，满足：二次插值法原理二次插值法区间缩小过程3.4.3收敛准则相继两次的二次插值函数极小点x(k),x(k+1)之间距离小于给定精度时,认为收敛。3.4.4特点：（1）   二次插值法只要求f(x)连续，不要求其一阶可微。  （2）   收敛速度比黄金分割法快，但可靠性不如黄金分割法好，程序也较长。   （3）   如p(x)的相邻两个迭代点重合，则产生死循环。第四节无约束优化方法0概念：对于一个n维目标函数，如果在没有任何限

8、制条件下寻求它的极小点，