机械优化设计教案第二章.ppt

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1、2.1基本概念函数的方向导数一个二元函数，在点处沿某一方向的方向导数(即变化率)可定义如下：第2章最优化的基础知识1二元函数，在点处的偏导数（即沿坐标轴方向的变化率，或称坐标轴方向的方向导数）如下：2方向导数与偏导数之间的数量关系二元函数三元函数3n元函数式中，为S方向与坐标轴方向xi夹角的余弦。4函数的梯度函数F(X)在某点X方向导数表明函数沿某一方向S的变化率。一般说来，函数在某一确定点沿不同方向的变化率是不同的。为求得函数在某点X方向导数为最大的方向，引入梯度的概念。以二元函数为例函数F(X)在点X处的梯度▽F(X),可记作gradF(X)方向S的单位向量5n元函数的梯度:6说明

2、：梯度▽F(X)是一个向量，梯度方向是函数具有最大变化率的方向（方向导数最大的方向），即：梯度▽F(X)方向是函数F(X)的最速上升方向；负梯度-▽F(X)方向是函数F(X)的最速下降方向。分析:函数F(X)沿S方向的方向导数等于向量▽F(X)在S方向上的投影。当cos（▽F(X)，S）＝1时，即S与▽F(X)方向相同时，向量▽F(X)在S方向上的投影最大，其值为7凸集凸函数8凸规划92.2最优点性质局部及全局最优点概念最优设计点可分为：局部最优点、全局最优点。目标函数Y=G(X)，设计变量X,取值区间[a，b]即优化问题的可行区域D={X∣a≤X≤b}。★1●2★3●1●3★2Y=G

3、(X)abX★3和●3分别为闭区间上设计端点；★2为开区间内极大点（或称局部极值点或局部最优点）;★1为可行区域D内全局最大点（全局最优点）;●1为开区间内极小点;●2为可行区域D内全局最小点。10局部及全局最优点性质讨论全局最优点一定也是局部最优点，而局部最优点不一定是全局最优点。判断是否全局、局部最优点的依据和最实用方法是高等数学中的极值原理（开区间上讲极值，闭区间上讲最值）。全局最优求解方法最优化问题常要求求解全局最优点，然而由于优化算法本身结构、优化问题本身的复杂性等原因，传统优化算法（如黄金分割法或0.618法，单纯形法、复合形法、最小二乘法等）以及新发展的模糊优化法、神经网

4、络优化法都很难直接求出全局最优点。目前，求解全局最优点的有效方法主要有：遗传优化法、多个局部最优点比较综合法。11遗传优化法GA（geneticalgorithm)GA总能解决传统优化法难以解决的问题。当优化问题存在若干个“山峰或极值点”（即多极值问题）时，传统优化法很容易陷入或收敛于局部最优点，而GA则不然。GA最擅长于求解大型且复杂的优化问题，求解简单优化问题反而效率不高（此时还不如选用传统优化法）。GA法不存在如何选择搜索初始点问题，总能搜索到全局最优点附近。12多个局部最优点比较综合法先取若干个相距较远的初始点，再从各个初始点出发用选择的优化算法来求出最优点。全局最优点的判断：

5、在上述基础上，观察求解结果是否趋向同一点？若从不同初始点出发搜索的结果是同一个最优点，则认为所得点是全局最优点；若从不同初始点出发搜索的结果不是同一个点，则需要进一步比较这些结果值，从中找出目标函数值最小或最大的那个作为全局最优点。13约束优化解通常，总是设法将约束优化问题转化为无约束优化问题，再选择无约束优化算法求解。不等式约束条件下的优化解不等式约束条件下，可行区域是满足不等式约束的区域，此区域内有无穷多个解，且必有一个最优解。等式约束条件下的优化解等式约束条件下，等式约束函数所示曲线或曲面就是可行区域，其上的各个点均为可行解点。多个等式约束条件下，有解性判断：1）约束数目m小于优

6、化变量数目n时，最优解存在。2）约束数目m等于优化变量数目n时，存在唯一解。3）约束数目m大于优化变量数目n时，最优解不存在。142.3极值原理高等数学中的极值原理实际上是一种无约束优化方法。由于它是最基本或最简单且广泛应用于工程实际，这里简单介绍一元函数的极值原理。设一元函数y=f(x)的定义域为a≤x≤b。在开区间a0，则X*为极小值点；若二阶导数d2y/dx2<0，则X*为极大值

7、点。15极大或极小值点的特点如图所示。极大值点★1极小值点●1YabX16无约束优化问题的极值17约束优化问题的极值条件1819K-T条件的几何意义：如果X*是一个局部极小点，则该点的目标函数的负梯度－▽F(X*)应落在该点诸约束面（所有起作用的约束条件）梯度▽gu(X*)和▽hv(X*)在设计空间所组成的锥角范围内。20K-T条件主要用于约束极值问题的数值解法中：检验设计点是否为约束极值点或局部最优点；判断和消除那些不起作用的约束条件，以保证