机械优化设计课件第二章-刘宇

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1、第二章优化设计的数学基础主讲人：刘宇2014/11/12厦门大学物理与机电工程学院1本章内容一、多元函数的方向导数与梯度二、多元函数的泰勒展开三、无约束优化问题的极值条件四、凸集、凸函数与凸规划五、等式约束优化问题的极值条件六、不等式约束优化问题的极值条件2014/11/12厦门大学物理与机电工程学院2多元函数的方向导数与梯度方向导数二元函数f(x,x)在点(x,x)处的偏导数121020ff(,xxxf),xx101201020limxxx1011x0ffxx(()10,20

2、x2)fxx10,20limxxx2022x02014/11/12厦门大学物理与机电工程学院3多元函数的方向导数与梯度二元函数f(x,x)在点(x,x)处沿某一方向d的变化率（方向导数121020）ffx(()10xx1,20x2)fxx10,20limddd0x0x2dxdx2xx020x211Oxx1012014/11/12厦门大学物理与机电工程学院4多元函数的方向导数与梯度ffx(,),10xx120x2fxx1020limdd

3、d0x0ffX2dcoscos12=x+x2x△d△X21x00XX020△X1θ2偏导数与θ1方向导数的关系OX10X1二维空间中的方向2014/11/12厦门大学物理与机电工程学院5多元函数的方向导数与梯度3元函数在点x处沿d方向的方向导数0FFFFcoscoscosxxxx123s00xxx001232014/11/12厦门大学物理与机电工程学院6多元函数的方向导数与梯度n元函数在点x处沿d方向的方向导数0ffffcoscoscos

4、12ndxxxx01x02x0nx0nfcosii1xix02014/11/12厦门大学物理与机电工程学院7多元函数的方向导数与梯度二元函数的梯度：函数f(x,x)在x点处的梯度120fffffcos1cos+cos,12dxxxxcosx0121xx2x2000fTxfffx()1,cos1令0dfxx12x0cos2x梯度2x0fT则fxd()

5、fx()cos(,)fd00dx02014/11/12厦门大学物理与机电工程学院8多元函数的方向导数与梯度fTfxd()fx()cos(,)fd00dx022ff梯度的模f(x)0xx12当梯度方向和d方向重合时，方向导数值最大，即梯度方向是函数值变化最快方向，而梯度的模就是函数值变化率的最大值2014/11/12厦门大学物理与机电工程学院9多元函数的方向导数与梯度多元函数的梯度fx1fTffff(x0)

6、x2xxx12nx0fxnx0nffTcosif(x0)df(x0)cos(f,d)di1xx0ix02014/11/12厦门大学物理与机电工程学院10多元函数的方向导数与梯度多元函数梯度的模n2f1/2f(x0)[()]i1xix0函数的梯度方向与函数的等值面相垂直，也就是和等值面上过x的一切曲线相垂直0由于梯度的模因点而异，即函数在不同点处的最大变化率是不同的。因此，梯度是函数的一种局部性质2014/11/12厦门大

7、学物理与机电工程学院11多元函数的方向导数与梯度梯度有两个重要性质函数在某点的梯度不为零，则必与过该点的等值面垂直（即为过点的等值线的法线方向）梯度方向具有最大变化率方向，正梯度方向是函数值最速上升的方向，负梯度方向是函数值最速下降的方向2014/11/12厦门大学物理与机电工程学院12多元函数的方向导数与梯度例1：求二次函数f(x,x)=x2+x2-4x+4在点(3,2)T处的梯度12121解fx12x14f(x)f2x2x2在点(3,2)T处的梯度

8、为2x142f(x)12x242014/11/12厦门大学物理与机电工程学院13多元函数的方向导数与梯度例2试求二次函数f(x,x)=3x2-4xx+x2在点x0=(0,1)T处的最121122速下降方向，并求沿这个方向移动一个单位长度后新点的目标函数值解ff6x4x4x2x1212xx12则函数在x0=(0,1)T处的最速下降方向为f0