等差数列前n项和的公式课件.ppt

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1、等差数列前n项和公式复习回顾(1)等差数列的通项公式:已知首项a1和公差d,则有:an=a1+(n-1)d已知第m项am和公差d,则有:an=am+(n-m)d,d=（an-am）/（n-m）(2)等差数列的性质:在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q(m,n,p,q∈N),那么:an+am=ap+aq泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡

2、之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？问题呈现问题1探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的办法，需要把中间项11看成首、尾两项1和21的等差中项。通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和。有无简单的方法？探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？借助几何图形之直观性，使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？123212120191获得算法：问题2一个堆放铅笔的V

3、形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？问题就是求“1+2+3+4+…+100=？”问题2：对于这个问题，德国著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）这个问题，可看成是求等差数列1，2，3，…，n，…的前100项的和。假设1+2+3++100=x,(1)那么100+99+98++1=x.(2)由(1)+(2)得101+101+101++101=2x,100个101所以x=5050.高斯问题3:求:1+2+3+4+…+n=?记:S=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+nS

4、=n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1设等差数列a1,a2,a3,…它的前n项和是Sn=a1+a2+…+an-1+an(1)若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1(2)由等差数列的性质a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…由(1)+(2)得2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..即Sn=n(a1+an)/2下面将对等差数列的前n项和公式进行推导即前n项的和与首项末项及项数有关若已知a1，n，d，则如何表示Sn呢？因为an=a1+（n-1）d所以Sn=na1+n(n-1)d/2由此得到等差数列的{an}前n项和的公式即：等差数

5、列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。上面的公式又可以写成由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。正所谓：知三求二【说明】①推导等差数列的前n项和公式的方法叫；②{an}为等差数列，这是一个关于的没有的“”倒序相加法Sn=an2+bnn常数项二次函数（注意a还可以是0）等差数列前n项和公式补充知识例2等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？本题实质是反用公式，解一个关于n的一元二次函数，注意得到的项数n必须是正整数.解：将题中的等差数列记为｛an｝，sn代表该数列的前n项和，则有a1=－10,d=－6－(－

6、10)=4根据等差数列前n项和公式：解得n1=9,n２=－3(舍去)因此等差数列－10,－6,－2,2，．．．前9项的和是54.设该数列前n项和为541.推导等差数列前n项和公式的方法小结：2.公式的应用中的数学思想.-------倒序相加法-------方程思想3.公式中五个量a1,d,an,n,sn,已知其中三个量，可以求其余两个-------知三求二【例1】已知等差数列{an}.(1)a1=a15=Sn=-5,求n和d;(2)a1=4,S8=172,求a8和d.【审题指导】根据等差数列前n项和公式解方程.【规范解答】（1）∵a15=+(15-1)d=∴d=又Sn=

7、na1+·d=-5,解得n=15,n=-4（舍）.（2）由已知，得S8=解得a8=39,又∵a8=4+(8-1)d=39,∴d=5.晨郊洲谁讨尺恐她糖辙魔抛聘志睫詹跋拱正狮钒秤胞肌譬逃桩郑舞弯嗣膝[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题【变式训练】在等差数列{an}中，已知a6=10，S5=5，求a8.【解析】方法一：设公差为d,∵a6=10，S5=5，∴解得∴a8=a6+2d=16.方法二：设公差为d,∵S6=S5+a6=15，∴15=即3（a1+10）=15.∴a1=-5，d==3.∴a8=a1+（8-