扩散方程讲课教案.ppt

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1、第二篇数学物理方程本篇主要内容：二阶线性偏微分方程的建立和求解重点：数学物理方程求解方法中的分离变量法和行波法.特点：加强物理模型和数学物理思想的介绍，以便充分了解模型的物理意义，有利于根据数学物理模型建立数学物理方程．数学物理思想数学物理方程（简称数理方程）是指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函数方程，主要指偏微分方程和积分方程．数学物理方程所研究的内容和所涉及的领域十分广泛，它深刻地描绘了自然界中的许多物理现象和普遍规律.声振动是研究声源与声波场之间的关系热传导是研究热源与温度场之间的关系泊松（S.D.Poisson1781～1840，法国数学家）方程

2、表示的是电势（或电场）和电荷分布之间的关系定解问题从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的是场和产生这种场的源之间的关系．根据分析问题的不同出发点，把数学物理问题分为正向问题和逆向问题.不同出发点正向问题，即为已知源求场逆向问题，即为已知场求源.前者是经典数学物理所讨论的主要内容.后者是高等数学物理（或称为现代数学物理）所讨论的主要内容多数为二阶线性偏微分方程振动与波（振动波，电磁波）传播满足波动方程热传导问题和扩散问题满足热传导方程静电场和引力势满足拉普拉斯方程或泊松方程数学物理方程的类型和所描述的物理规律三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程双曲型方程波动

3、方程为代表抛物型方程热传导方程为代表椭圆型方程泊松方程为代表退化为拉普拉斯方程分离变量法偏微分方程标准的常微分方程标准解，即为各类特殊函数三类数学物理方程的一种最常用解法第九章数学建模---数学物理定解问题9.1数学建模----波动方程类型的建立具有波动方程的数理方程的建立弦的横振动杆的纵振动讨论定解条件传输线方程9.1.1波动方程的建立1.弦的微小横振动考察一根长为且两端固定、水平拉紧的弦．讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题．要确定弦的运动方程，需要明确：确定弦的运动方程（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛顿第二定律.（3）按物理定理写出数学物理方程（即

4、建立泛定方程）要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移注意：物理问题涉及的因素较多，往往还需要引入适当假设才能使方程简化．数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍规律，所以考察点不能取在端点上，但可以取除端点之外的任何位置作为考察点．根据牛顿第二定律方向运动的方程可以描述为（9.1.1）作用于小段的纵向合力应该为零：(9.1.2)仅考虑微小的横振动，夹角为很小的量，忽略及其以上的高阶小量，则根据级数展开式有注意到:故由图9.11得这样，(9.1.1)和(9.1.2)简化为因此在微小横振动条件下，可得出，弦中张力不随而变，可记为故有(9.1.5)变化量可以

5、取得很小，根据微分知识有下式成立这样，段的运动方程(9.1.5)就成为(9.1.6)即为（9.1.7）上式即为弦作微小横振动的运动方程，简称为弦振动方程．其中讨论：（1）若设弦的重量远小于弦的张力，则上式(9.1.7)右端的重力加速度项可以忽略．由此得到下列齐次偏微分方程：（9.1.8）称式（9.1.8）为弦的自由振动方程(2)如果在弦的单位长度上还有横向外力作用，则式(9.1.8)应该改写为(9.1.9)式中称为力密度，为时刻作用于处单位质量上的横向外力式（9.1.9）称为弦的受迫振动方程.2、均匀杆的纵振动段的运动方程为（9.1.10）可得（9.1.11）这就是杆的

6、纵振动方程．讨论(1)对于均匀杆，和是常数，(9.１.11）可以改写成（9.１.12）其中这与弦振动方程（9.１.8）具有完全相同的形式．（2）杆的受迫振动方程跟弦的受迫振动方程（9.１.9）完全一样，只是其中应是杆的单位长度上单位横截面积所受纵向外力3.传输线方程（电报方程）（9.1.13）同理可得：(9.1.14)式（9.1.13）及（9.1.14）即为一般的传输线方程（或电报方程）．(1)无失真线(9.1.15)其中(2)无损耗线（9.1.16）(9.1.17)具有与振动方程类似的数学形式，尽管它们的物理本质根本不同(3)无漏导，无电感线（9.1.18）(9.1.

7、19)它们具有与下节将讨论的一维热传导方程类似的数学形式，尽管它们的物理本质根本不同．9.1.2波动方程的定解条件定解条件：初始条件和边界条件1.初始条件波动方程含有对时间的二阶偏导数，它给出振动过程中每点的加速度．要确定振动状态，需知道开始时刻每点的位移和速度．波动方程的初始条件通常是（9.1.22）例9．1．1一根长为的弦，两端固定于和,在距离坐标原点为的位置将弦沿着横向拉开距离，如图9.5所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。xuoblh图9.5【解】初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有初始位移如图所示2.边界条件