经济数学(极限与连续习题及答案).doc

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1、第二章函数的极限与连续习题2－1 1.写出下面数列的前5项，并观察当n—>∞时，哪些数列有极限，极限为多少?哪些数列没有极限.解（1）有极限,极限为1.(2)没有极限.(3)有极限,极限为1.(4)－1,2,－3,4,－5没有极限.(5),有极限,极限为0.(6)0,1,0,1,0没有极限.2.用极限的定义证明：(1)若k>0，则解(1)因为对任给的ε>0，要使不等式所以对任给的ε>0,取正整数N=,则当n>N时,就恒有故由数列极限的定义知,.(2)因为对任给的ε>0,不妨设，要使不等式所以对任给的

2、ε>0,取正整数N=,则当n>N时,就恒有故由数列极限的定义知,.3.设如果要使xn与其极限之差的绝对值小于0.0001,问n应满足什么条件?解因为要使所以n>4.4.设数列｛xn｝有界，且证因为数列｛xn｝有界,所以存在正整数M>0,使得0,存在正整数N,使得当n>N时,就恒有所以对任给的ε>0,存在正整数N,使得当n>N时,就恒有故由数列极限的定义知,5.设数列｛xn｝收敛,求证数列｛xn｝必定有界.解由数列｛xn｝收敛,设.因为对于任意ε>0,存在正整数N,使得当n>

3、N时的一切xn,就恒有即所以对任给的ε>0,取正数当n>N时,就恒有故数列｛xn｝必定有界.习题2－2 1.用极限的定义证明：解(1)因为对任给的ε>0,要使不等式

4、(3x–1)–8

5、=

6、3(x–3)

7、<ε只要取正数δ=就可以了.所以对任给的ε>0,取正数δ=,使得当0<

8、x–3

9、<δ时,就恒有

10、(3x–1)–8

11、<ε故由极限定义知.(2)因为对任给的ε>0,要使不等式只要取正数δ=ε就可以了.所以对任给的ε>0,取正数δ=ε,使得当0<

12、x+2

13、<δ时,就恒有故由极限定义知.(3)因为对任给的ε>

14、0,要使不等式,则

15、x

16、>,只要取正数M=就可以了.所以对任给的ε>0,取正数M=,使得当

17、x

18、>M时,就恒有故由极限定义知.(4)因为对任给的ε>0(不妨设0<ε<1),要使不等式就可以了.所以对任给的ε>0,取正数,使得当x<-M时,就恒有故由极限定义知.2*.当x-2时，x24.问δ等于多少，在0<

19、x+2

20、<δ时,有

21、x2-4

22、<0.003?解因为当x-2时，x-2-4,取=0.003,要使不等式

23、x2-4

24、=

25、x+2

26、

27、x–2

28、<设,即有-3

29、0.0006,有.3*.当x—>∞时，.问M等于多少时，在

30、x

31、>M时,有?解因为当x—>∞时，要使不等式即M=102.4.设函数,讨论当x—>0时，f(x)的极限是否存在.解5.证明函数f(x)=x

32、x

33、,当x0时极限为零.6*.利用定义证明：.证因为当a>1时，对任意ε>0，不妨设0<<1,要使所以对于0<<1，就恒有即.又因为当02时的极限存在.解故8.求当x—>0时的左、右极限，并说明它们在x—>

34、0时的极限是否存在.解习题2－3 1.1.      求下列极限：解2.求下列数极限： 1.2.      设,求常数a,b的值.解1.3.      若常数k使存在,试求出常数k与极限值.解5.求下列函数的极限：解当时,,则6.求下列曲线的渐近线：解7.已知解习题2－4 1.1.    利用极限存在准则，计算下列各题:解2.求下列极限：解3.求下列极限：解  解习题2－5 1.下列函数在什么情况下是无穷小量，什么情况下是无穷大量？解（1）因为,所以当时，是无穷大量.又因为，所以当时，是无穷小量.（

35、2）因为，所以当时,是无穷大量.又因为，所以当时，是无穷小量.（3）因为，所以当时,是无穷大量.又因为，所以当时,是无穷小量.（4）因为，所以当是无穷大量.又因为，所以当是无穷小量.2．当时，指出关于x的同阶无穷小量、高阶的无穷小量、等价的无穷小量.解因为所以当时，与x同阶的无穷小量有；又因为所以当时，比x高阶的无穷小量有，，；又因为所以当时，与x等价的无穷小量有.3.把下列函数表示为常数(极限值)与一个当x—>∞时的无穷小量之和的形式.解（1）因为,所以.（2）因为所以.4．证明：当x—>0时，(

36、1)ex-1∽x；(2)arcsinx∽x.解（1）.（2）.5．利用等价替换原理,计算下列极限：   解（1）因为当时，所以.（2）因为当所以.（3）因为当所以.（4）因为当所以.（5）因为当所以.（6）因为当所以.（7）因为当所以.(8)因为当6.设x—>0时,函数为等价无穷小量，求常数k的值.解因为所以k=－1.*7.求下列函数的极限：解因为所以.(2)因为当时,因为当时, 习题2－6 1.求函数在x=3,⊿x=-0.2时的增量⊿y.解因为2.利用连读函数的定义