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时间:2020-08-05
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1、数论中埃米特恒等式证明证明下列命题:(1),且1至之间的整数中,有个是的倍数。(2)若则。(3)为实数,为正整数,求证:(埃米特恒等式)。证明:(1)因为,即故,且1至之间的整数中,有个是的倍数。(2)由于是质数,因此含的方次数一定是1,2,3,各数中含的方次数的总和。由(1)知1,2,3,中有个倍数,有个的倍数,┈,所以(3)不妨设,①当时,即所以,而故等式此时成立。②当时,设,使得,,则所以故。综合①②得,为正实数时,为正整数,成立。同理可证得时,结论也成立;当时,结论显然成立。综合上述得,
2、为实数时,为正整数,成立。
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