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1、矩阵论电子教程哈尔滨工程大学理学院应用数学系矩阵的对角化,若当标准型第三章二次型指的是数域P上的n元二次齐次多项式，它的研究起源于解析几何中化二次曲面的方程为标准形式的问题．二次型不但在几何中出现，而且在数学的其它分支以及物理、力学中也常常会碰到．在这一章里，我们用学过的矩阵知识来讨论二次型的一些最基本的性质．一,Hermite矩阵及基本性质引理:设,则(1)都是H-阵.§3.2Hermite二次型(2)是反H-阵.(3)如果是H-阵,那么也是H-阵,为任意正整数.如果是可逆的H-阵,那么也是可逆的H-阵.如果是H-阵
2、(反H-阵),那么是反H-矩阵(H-阵),这里为虚数单位.如果都是H-阵,那么也是H-阵,这里均为实数.(7)如果都是H-阵,那么也是H-阵的充分必要条件是:二,Hermite矩阵的相关定理定理1:设,则(1)A酉相似与对角线都是A的特征值的对角阵(2)若,则A与矩阵合同,其中p为A的正惯性指数,r-p为负惯性指数证明(2)因为A是正规矩阵,所以存在酉矩阵U,使得:不妨假设则有:其中:我们记于是:,且:由此可以看出:H-阵A的正、负惯性指数即为A的特征值的个数,因此A的惯性指数唯一确定,是合同变换下的不变量证明:必要性
3、,因为是数,A是H-阵,所以:定理2:设,则是H-阵的充分必要条件是对于任意的是实数.所以:为实数充分性:因为是实数,故即:,设则:(2)取.则由(1)知(3)取,则(1)取,则由(2)所以二,Hermite二次型(Hermite二次齐次多项式)称为Hermite二次型,这里如果记:定义:由个复变量,系数为复数的二次齐次多项式那么上面的Hermite二次型可以记为称为Hermite二次型对应的矩阵,并称的秩为Hermite二次型的秩.对于Hermite二次型作可逆的线性替换则这里在Hermite二次型中最简单的一种是只
4、含有纯的平方项无交叉项的二次型,即:我们称这种形状的Hermite二次型为标准形的Hermite二次型.定理1:对于任意一个Hermite二次型必存在酉线性替换,可以将Hermite二次型化为标准形其中是H-矩阵的特征值.证明:因为是Hermite矩阵,所以其中:为实数令:称为的规范型定理2:设,的正惯性指数为,则存在可逆的线性替换,使的Hermite二次型为规范标准型例1:写出下面Hermite二次型的矩阵表达式,并用酉线性替换将其化为标准形.解:定义:对于给定的Hermite二次形三,正定Hermite二次型与正定
5、Hermite矩阵如果对于任意一组不全为零复数都有则称该Hermite二次形为正定的(半正定的),并称相应的H-矩阵为正定的(半正定的).定理3:设,则是正定的充分必要条件是与正线对角阵合同.即存在可逆阵使得:其中:证明:充分性,令所以,由P的可逆性得,从而A是正定的必要性:由定理1知使得:令:因为,,,由P的可逆性得故推论:设,若B与A合同,则B与A的正定性相同与正定的实二次形一样,关于正定的Hermite二次形我们有定理4:对于给定的Hermite二次形下列叙述是等价的:是正定的.(是正定的)的特征值都是正实数.与
6、单位阵合同(4)对于任何阶可逆矩阵,都有:是正定的.(5)存在可逆阵,使得:请同学们考虑如何证明证明(5),因为A是正定的,所以存在使得:判断下列Hermite二次形的类别练习1由于又是酉矩阵,所以例2设是一个正定的H-阵,且又是酉矩阵,证明:证明:由于是一个正定H-阵,所以必存在使得这样必有,从而例3:设是一个正定的H-阵,是一个反H-阵,证明:与的特征值实部为零.证明:设为矩阵的任意一个特征值,则由于是一个正定H-阵,所以存在可逆矩阵使得,将其代入上面的特征多项式有这说明也是矩阵的特征值.另一方面注意矩阵为H-反阵
7、,从而实部为零.同样可以证明BA例4:设是一个正定的H-阵,是一个反H-阵,证明:是可逆矩阵.证明:由于是一个正定H-阵,所以存在可逆矩阵使得:这表明是可逆的.于是另一方面注意矩阵仍然为正定H-阵,而矩阵为H-反阵,由上面的例题结论可知矩阵的特征值实部为零,那么矩阵的特征值中不可能有零,从而所以,即是可逆阵(2)对于任何阶可逆矩阵都有为半正定矩阵(3)的个特征值全是非负的存在阶可逆矩阵使得(5)存在秩为的阶矩阵使得定理5:对于给定的Hermite二次形下列叙述是等价的:(1)是半正定的定理6:设则A是正定的充分必要条件
8、是A的顺次主子式大于零即:例5设是一个半正定的H-阵且证明:证明:设为的全部特征值,由于是半正定的,所以.于是有将代入即得设是一个半正定的H-阵且是一个正定的H-阵,证明:证明:由于是一个正定的H-阵,所以存在可逆矩阵使得这样有练习2注意矩阵仍然是一个半正定的H-阵,从而所以:证明：（1）半正定H-矩阵之和仍然是半正定的;（2）半
