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1、第34卷第1期西安建筑科技大学学报(自然科学版)Vol.34No.12002年3月J1Xi’anUniv.ofArch.&Tech.Mar.2002关于埃尔米特多项式的一些恒等式刘端森,李超(陕西省商洛师范专科学校数学研究所,陕西商州726000)摘要:用初等方法研究了著名的埃尔米特多项式的性质,得到了形如H2a(x)H2a(x)H2a(x)12m6(2a).(2a).⋯(2a).的一些恒等式.a+a+⋯+a=n12m12m关键词:埃尔米特多项式;恒等式;初等方法X中图分类号:O15614文献标识码:A文章编号:100
2、627930(2002)0120099204OnsomeidentitiesinvoluingHermitepolynomialsLIUDuan2sen,LIChao(InstiuteofMathematics,ShangluoTeachersCollege,Shangzhou,726000,China)Abstract:Withtheuseoftheelementarymethods,thepropertiesofHermitepolynomialsarestudied,andidentitiessuchH2a(x)
3、H2a(x)H2a(x)12mas6(2a⋯areobtained.1).(2a2).(2am).a+a+⋯+a=n12mKeywords:Hermitepolynomials;identical;elementarymerthods1引言与结果著名的埃尔米特多项式n[]2k(-1)n.n-2kHn(x)=6(2x)(n=0,1,2⋯)(1)k=0k.(n-2k).22xt-tn是由母函数e按t展开式∞n2xt-t2te=6Hn(x)n=0n.2x-来定义的.且以e2为权函数的埃尔米特多项式Hen(x)与Hn(x)有此
4、关系:nHn(x)=22Hen(2x).(2)关于埃尔特多项式及带权埃尔米特多项式有如下结论:[2]定理1设a1,a2,⋯am,n,k为非负整数,Hn(x)为埃尔米特多项式,那么有如下恒等式:X收稿日期:2001209210作者简介:刘端森(19612),男,陕西山阳人;商洛师范专科学校数学研究所、数学系副教授.100西安建筑科技大学学报(自然科学版)第34卷nHa1(x)Ha2(x)Ham(x)m26(⋯=Hn(mx)a+a+⋯+a=na1).(a2).(am).n.12m其中6表示对所有的非负整数组(a1,a2,⋯
5、,am)求和.a+a+⋯+a=n12m推论1设a1,a2,⋯,am,n,k为非负整数,Hen(x)为带权的埃尔米特多项式,那么nHea1(x)Hea2(x)Heam(x)m26⋯=Hen(mx)(a1).(a2).(am).n.a+a+⋯+a=n12m定理2设a1,a2,⋯,am,n,k为非负整数,那么有下列恒等式:H2a(x)H2a(x)H2a(x)12m(1)6⋯(2a1).(2a2).(2am).a+a+⋯+a=n12mnmmk2k-m=m(26CmH2nx;2n).k=0mH2a+1(x)H2a+1(x)H2a
6、+1(x)12m(2)6⋯a+a+⋯+a=n(2a1+1).(2a2+1).(2am+1).12mmmn+m2m-kk2k-m=m(26(-1)CmH2n+mx.2n+m).k=0m推论2设a1,a2,⋯,am,n,k为非负整数,则有恒等式:He2a(x)He2a(x)He2a(x)12m(1)6⋯(2a1).(2a2).(2am).a+a+⋯+a=n12mnmmk2k-m=m6CmHe2nx;2(2n).k=0mHe2a+1(x)He2a+1(x)He2a+1(x)12m(2)6⋯(2a1+1).(2a2+1).(2
7、am+1).a+a+⋯+a=n12mmmn+m2m-kk2k-m=m(26(-1)CmHe2n+mx.2n+m).k=0m2定理的证明文中除定理1外均为新结论,这里对定理1的证明运用了与文[2]不同的方法.∞nm2xt-t2t设f(x,t)=e=6Hn(x),n=0n.∞nmmt则f(x,t)=6Hn(x)n=0n.∞Ha(x)Ha(x)Ha(x)12mn=66⋯t(3)n=0a+a+⋯a=n(a1).(a2).(am).12m另一方面,2m2xt-tmf(x,t)=(e)2-mt2mxt=eõe∞(-1)nn∞n(2
8、nnm2nmx)=6t)(6tn=0n.n=0n.n∞2(-1)kk2kn-2kn-2kn-2kmtõmõ(2x)õt=66n=0k=0k.(n-2k).第1期刘端森等:关于埃尔米特多项式的一些恒等式101n∞2nkn-2k=(-1)m2(2mx)n66tn=0k=0k.(n-2k).n∞n[2]nkn-2k=∑m2(-1)m2(
